多所高校近世代数期末考试题库[1]

多所高校近世代数题库

一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、设A与B都是非空集合，那么A B xx A且x B 。 （ ）

2、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ）

3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f 1。 （ ）

4、如果循环群G a 中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （ ）

5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ ）

6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为 g G, h H;g 1Hg H。 （ ）

7、如果环R的阶 2，那么R的单位元1 0。 （ ）

8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ ） 9、F(x)中满足条件p( ) 0的多项式叫做元 在域F上的极小多项式。 （ ）

10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Zp 同构的子域，这里Z是整数环， p 是由素数p生成的主理想。 （ ）

二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

1、设A1,A2, ,An和D都是非空集合，而f是A1 A2 An到D的一个映射，那么（ ）

①集合A1,A2, ,An,D中两两都不相同；②A1,A2, ,An的次序不能调换； ③A1 A2 An中不同的元对应的象必不相同；

④一个元 a1,a2, ,an 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ ） a b①在整数集Z上，a b ； ②在有理数集Q上，a b abab；

③在正实数集R 上，a b alnb；④在集合 n Zn 0 上，a b a b。

3、设 是整数集Z上的二元运算，其中a b max a,b （即取a与b中的最大者），那么 在Z中（ ）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设 G, 为群，其中G是实数集，而乘法 :a b a b k，这里k为G中固定的常数。那么群 G, 中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）

①0和 x； ②1和0； ③k和x 2k； ④ k和 (x 2k)。

5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a bxc 1,acx xac，那么x （ ） ①bc 1a 1； ②c 1a 1； ③a 1bc 1； ④b 1ca。

6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类 H,aH,bH,cH 。如果6，那么G的阶G （ ）

①6； ②24； ③10； ④12。

7、设f:G1 G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ） ①f的同态核是G1的不变子群； ②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群； ④G1的不变子群的象是G2的不变子群。

8、设f:R1 R2是环同态满射，f(a) b，那么下列错误的结论为（ ） ①若a是零元，则b是零元； ②若a是单位元，则b是单位元； ③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。

9、下列正确的命题是（ ）

①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环；

③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。

10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（ ）

① E:I E:I I:F ； ② F:E I:F E:I ；

③ I:F E:F F:I ； ④ E:F E:I I:F 。

三、（2011年近世代数）填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）

1,2 ，则有B A 。 1、设集合A 1,0,1 ；B

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f 1 f a 。

3、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai Aj，那么

Ai Aj

4、设群G中元素a的阶为m，如果an e，那么m与n存在整除关系为。

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

6、给出一个5-循环置换 (31425)，那么 1

7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 。

8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R是一个域当且仅I

当I是 。

9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果 。

10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。

四、（2011年近世代数）改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）

1、如果一个集合A的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在a1 a2 an里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么S 0。

4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d d'。

5、 叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1, ,an使得a0 a1 an n 0。

五、（2011年近世代数）计算题（共15分，每小题分标在小题后）

1、给出下列四个四元置换

1 1234 , 2 1243 , 3 2134 , 4 2143 1234 1234 1234 1234

1 1 1组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及 1 1, 2和G的, 3, 4

所有子群。

2、设Z6 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 是模6的剩余类环，且f(x),g(x) Z6 x 。如果f(x) 3 x3 5 x 2 、g(x) 4 x2 5 x 3 ，计算f(x) g(x)、f(x) g(x)和f(x)g(x)以及它们的次数。

3、群G=(a),|a|=7，求出群G的所有子群。

六、（2011年近世代数）证明题（每小题10分，共40分）

1、设a和b是一个群G的两个元且ab ba，又设a的阶a m，b的阶b n，并且(m,n) 1，证明：ab的阶 mn。

2、设R为实数集， a,b R,a 0，令f(a,b):R R,x ax b, x R，将R的所有这样的变换构成一个集合G f(a,b) a,b R,a 0，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。

3、设I1和I2为环R的两个理想，试证I1 I2和I1 I2 a ba I1,b I2 都是R的理想。

4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。

5、整数环Z中，证明（3，7）=(1)

6、证明：域是欧式环。

7、证明群同态定理第一条。

8、R[x]条件下，做映射：f：g(x)=g(0),求证：在f映射下R[x]与R同构,并求其核。

多所高校近世代数题库答案

一、（近世代数）判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

× × √ √ × √ √ √ × ×

二、（近世代数）单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④

三、（近世代数）填空题

1、 1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1 。 2、a。 3、 。 4、mn。

5、变换群。 6、 13524 。 7、 xiayi,xi,yi R。 8、一个最大理想。

9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。

10、E的每一个元都是F上的一个代数元。

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