[k12精品]2018北师大版高中数学必修二学案：第二章 2.3 第1课时

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K12精品文档学习用 2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系

第1课时 直线与圆的位置关系 学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．

知识点 直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断

思考 如何判断直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系？

梳理 直线与圆位置关系的判定

类型一 直线与圆的位置关系的判断

例1 求实数m 的取值范围，使直线x －my ＋3＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．

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反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

跟踪训练1 对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )

A ．相离

B ．相切

C ．相交但直线不过圆心

D ．相交且直线过圆心

类型二 切线问题

例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程．

引申探究

若本例的条件不变，求其切线长．

反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．

(1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的

斜率k ，则由垂直关系，切线斜率为－1k

，由点斜式方程可求得切线方程．如果k ＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0.

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K12精品文档学习用 (2)求圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线时，常用几何方法求解：

设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．

跟踪训练2 若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________________．

类型三 直线与圆相交问题 命题角度1 求弦长问题

例3 过圆x 2＋y 2＝8内的点P (－1,2)作直线l 交圆于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________．

反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法

(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2

)2求解．

(2)弦长公式：

如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k

2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． (3) 几何法：如图，直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，

则有(|AB |2)2＋d 2＝r 2，即|AB |＝

2r 2－d 2.

通常采用几何法较为简便．

跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝8.

(1)证明：直线l 与圆相交；

(2)当直线l 被圆截得的弦长最短时，求直线l 的方程，并求出弦长．