离散数学集合论练习题

集合论练习题

一、选择题

1．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ ）．

A．{2} B B．{2, {2}, 3, 4} B

C．{2} B D．{2, {2}} B

2．若集合A={a，b，{ 1，2 }}，B={ 1，2}，则（ ）．

A．B A，且B A B．B A，但B A

C．B A，但B A D．B A，且B A

3．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．

A．{{1}, {a}} B．{ ,{1}, {a}}

C．{ ,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}

4.已知A B={1,2,3}, A C={2,3,4},若2 B,则（ ）

A． 1 C B．2 C C．3 C D．4 C

5. 下列选项中错误的是( )

A． B． C． { } D． { }

6. 下列命题中不正确的是（ ）

A． x {x}-{{x}} B．{x} {x} {{x}}

C．A {x} x,则x A且x A D． A B A B

7. A, B是集合，P(A),P(B)为其幂集，且A B ，则P(A) P(B) ( )

A． B． { } C． {{ }} D．{ ,{ }}

8. 空集 的幂集P( )的基数是( )

A． 0 B．1 C．3 D．4

9．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={ a , b a , b A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（ ）．

A．自反的 B．对称的

C．对称和传递的 D．反自反和传递的

10. 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系

R = { 1 , 1 ， 2 , 2 ， 2 , 3 ， 4 , 4 }，

S = { 1 , 1 ， 2 , 2 ， 2 , 3 ， 3 , 2 ， 4 , 4 }，

则S是R的（ ）闭包．

A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对

11. 设A={1，2，3，4}，下列关系中

A．R1={<1，1>，<1，2>，<2，1>， <2，2>，<3，3>}

B．R2={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<3，3>，<4，4>}

C．R3={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<3，1>，<3，3>，<4，4>}

D．R4={<1，1>，<1，3>，<2，2>，<3，2>，<4，4>}

12．非空集合A上的二元关系R，满足( )，则称R是等价关系．

A．自反性，对称性和传递性 B．反自反性，对称性和传递性

C．反自反性，反对称性和传递性 D．自反性，反对称性和传递性

13．设集合A={a, b}，则A上的二元关系R={<a, a>，<b, b>}是A上的( )关系．

A．是等价关系但不是偏序关系 B．是偏序关系但不是等价关系

C．既是等价关系又是偏序关系 D．不是等价关系也不是偏序关系

14. 设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S的对称性( )

A．一定成立 B．不一定成立 C．一定不成立 D．不可能成立

15. 整数集合Z上“＜”关系的自反闭包是( ) 关系

A．＝ B．≠ C．＞ D．≤

16. 关系R的传递闭包t(R)可由( )来定义

A．t(R)是包含R的二元关系 B．t(R)是包含R的最小的传递关系

C．t(R)是包含R的一个传递关系 D．t(R)是任何包含R的传递关系

17. 设R是集合A上的偏序关系，Rc是R的逆关系，则R∪Rc是( )

A．偏序关系 B．等价关系 C．相容关系 D．都不是

18.设偏序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的

( )。

(A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对

二、填空题

1．设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为

2. 集合{ { }}的幂集为

3．设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R从A到B的二元关系，

R ={ a , b a A，b B且2 a + b 4}

则R的集合表示式为 ．

4．设集合A={0, 1, 2}，B={0, 2, 4},R是A到B的二元关系，

R { x,y x A且y B且x,y A B}

则R的关系矩阵MR＝

5. 设集合A={a,b,c}，A上的二元关系

R={<a, b>,<c. a>}，S={<a, a>,<a, b>,<c, c>}

则(R S)1= R S －

6. 设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则二元关系R具有的性质是 ．

7. 设R是集合A = {1 , 2 , , 10}上的模7同余关系则[2]R．

8. A={ 1, 2,3,4,5,6,8,10,24,36},RA是上的整除关系，子集B={1,2,3,4},则

的最大元 ，最小元 ，极大元 ，极小元 ， 上界 ，下界 ，上确界 ，下确界 。

三、计算题

1．设集合A {{ },{ ,1},{1,1, }},B {{ ,1},{1}}，求

（1）B A； （2）A B； （3）A－B； （4）A B；(5)P(A)

2. 设A {{0},0}，计算P(A) {0},P(A) A.

3. 设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质： 11 1

224、设A={1,2,…,10}。下列哪个是A的划分？若是划分，则它们诱导的等价关系是什么？

（1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}};

（2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}};

（3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}}

5. R是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系，

R=IA {<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,6>,<6,3>}

求R诱导的划分。

6. A上的偏序关系 的Hasse图如下。

(1) 下列哪些关系式成立：a b, b a ,c e, e f , d f, c f；

(2) 分别求出下列集合关于 的极大（小）元、最大（小）元、上（下）界及上（下）确界

(a) A ; (b) {b,d}; (c) {b,e}; (d) {b,d,e}

a

7. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．

（1）写出关系R的表示式；

（2）画出关系R的哈斯图；

（3）求出集合B的最大元、最小元．

8. 设集合A＝{a, b, c, d}上的二元关系R的

关系图如右图所示．

（1）写出R的表达式；

（2）写出R的关系矩阵；

（3）求出R2．

9．设A={0，1，2，3，4}，R={<x，y>|x A，y A且x+y<0}，S={<x，y>|x A，y A且x+y<=3}，试求R，S，R S，R-1，S-1，r(R)，s(R)，t(R)，r(S)，s(S)，t(S)．

四、证明题

1. 设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a A，存在b A，使得<a, b> R，则R是等价关系．

2．若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：R S也是A上的偏序关系．