高中数学知识点总结_第六章不等式

高中数学第六章-不等式

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：

（1）理解不等式的性质及其证明．

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．

（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．

（4）掌握简单不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

§06. 不 等 式 知识要点

1. 不等式的基本概念

（1） 不等（等）号的定义：a b 0 a b;a b 0 a b;a b 0 a b.

（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3） 同向不等式与异向不等式.

（4） 同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）a b b a（对称性）

（2）a b,b c a c（传递性）

（3）a b a c b c（加法单调性）

（4）a b,c d a c b d（同向不等式相加）

（5）a b,c d a c b d（异向不等式相减）

（6）a. b,c 0 ac bc

（7）a b,c 0 ac bc（乘法单调性）

（8）a b 0,c d 0 ac bd（同向不等式相乘）

(9)a b 0,0 c d ab cd（异向不等式相除）

(10)a b,ab 0 11（倒数关系） ab

（11）a b 0 an bn(n Z,且n 1)（平方法则）

（12）a b 0 a (n Z,且n 1)（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若a R,则|a| 0,a2 0

（2）若a、b R ,则a2 b2 2ab(或a2 b2 2|ab| 2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

a b.（当仅当a=b时取等号） 2

极值定理：若x,y R ,x y S,xy P,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

(4)若a、b、c R ,则a b c a=b=c时取等号）

3

ba(5)若ab 0,则 2（当仅当a=b时取等号）

ab

(6)a 0时，|x| a x2 a2 x a或x a;|x| a x2 a2 a x a

（7）若a、b R,则||a| |b|| |a b| |a| |b|

4.几个著名不等式

（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么

a b（当仅当112 ab2a=b时

取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）： 2222a ba ba ba b22特别地，ab (（当a = b时，() ) ab） 2222

a2 b2 c2 a b c (a,b,c R,a b c时取等) 33

22 ... an 幂平均不等式：a12 a221(a1 a2 ... an)2 n

注：例如：(ac bd)2 (a2 b2)(c2 d2). 111常用不等式的放缩法：① nn 1n(n 1)

1n2111 (

n

2)

n(

n 1)n

1n n 1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3, ,an R,b1,b2,b3 ,bn R;则

（a1b1 a2b2 a3b3 anbn) aaaa1 2 3 n时取等号b1b2b3bn22(a12 a22 a32 an)(b122 b22 b32 bn)

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1 x2),有 f(x1 x2f(x1) f(x2)) 或22f(x1 x2f(x1) f(x2) ) .22

则称f(x)为凸（或凹）函数.

5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x) 0 f(x)g(x) 0;g(x) f(x)g(x) 0 f(x) 0 g(x) g(x) 0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1 f(x) 0 定义域 g(x) 0 f(x) g(x)

○2 f(x) 0 f(x) 0 ○3f(x) g(x) g(x) 0或 g(x) 02 f(x) [g(x)] f(x) 0 f(x) g(x) g(x) 02 f(x) [g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x) ag(x)(a 1) f(x) g(x);af(x) ag(x)(0 a 1) f(x) g(x) af(x) b(a 0,b 0) f(x) lga lgb

（5）对数不等式：转化为代数不等式

f(x) 0 logaf(x) logag(x)(a 1) g(x) 0;

f(x) g(x) f(x) 0 logaf(x) logag(x)(0 a 1) g(x) 0 f(x) g(x)

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○

g(x) 0|f(x)| g(x) g(x) f(x) g(x) g(x) 0|f(x)| g(x) g(x) 0(f(x),g(x)不同时为0)或 f(x) g(x)或f(x) g(x)

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

①x(1 x)2 1124

2x(1 x)(1 x) ()3 22327

22x2(1 x2)(1 x2)1234②y x(1 x) y () y 223272

类似于y sinxcosx sinx(1 sinx)，③|x 1| |x| |1|(x与1同号，故取等) 2 22

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