2010年第二十一届希望杯全国数学邀请赛初二第2试试题及答案标准

2010

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第2试2010年4月11日 上午9:00至11:00

一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．

1．计算91252?，得数是( )

(A)9位数． (B) 10位数． (C) 11位数． (D) 12位数．

2．若13

2=-y x ，则代数式189189---+y x y x 的值( ) (A)等于57． (B)等于75． (C)等于75或不存在. (D)等于5

7或不存在． 3. The integer solutions of the inequalities about x ?????-<+--≥+-23)21(22)(3x b b

x a x a x are 1,2,3, then the number of integer pairs (a,b) is( )

(A)32. (B)35. (C)40. (D)48.

（英汉词典：integer 整数） 4．已知三角形三个内角的度数之比为z y x ::，且x+y<z ，则这个三角形是( )

(A)锐角三角形． (B)直角三角形． (C)钝角三角形． (D)等腰三角形． 5．如图1，一个凸六边形的六个内角都是120°，六条边的长分别为

a ，

b ，

c ，

d ，

e ，

f ，则下列等式中成立的是( )

(A)a+b+c=d+e+f ． (B)a+c+e=b+d+f ．

(C)a+b=d+e ． (D)a+c=b+d ．

6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为a ，最长的中线的长为m ，最长的

高线的长为h ，则( )

(A)a>m>h ． (B)a>h>m ． (C)m>a>h ． (D)h>m>a ．

7．某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O 分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有( )

(A) 15种． (B)11种． (C)5种． (D)3种．

8．若y

x y x xy 11

,0,0+=/+=/与x+y 成反比，则2)(y x +与22y x + ( )

(A)成正比． (B)成反比．

(C)既不成正比，也不成反比． (D)关系不确定．

9．如图2，已知函数)0(),0(2<=>=x x

k y x x y ，点A 在正y 轴上，过点A 作x BC //轴，交两个函数的图象于点B 和C ，若3:1:=AC AB ，

则k 的值是( )

(A)6． (B)3． (C)一3． (D)一6．

10. 10个人围成一圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把目己想的数告许与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图3所示，则报出来的数是3的人心里想的数是( )

(A)2． (B)一2． (C)4． (D)一4．

图1f e d c b a

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二、填空题（每小题4分，共40分．）

11.若02722=+-x x ，则x 4—24x 2=

12.如图4，已知点A （a ，b ），0是原点，OA=OA 1，1OA OA ⊥，则点A 1的坐标是

13.已知0=/ab ，并且0>+b a ，则22a

b b a + ).(11””或“”、“”、“填“≤≥<>+b a 14.若02222=+--+b a b a ，则代数式b a b a b a -+?的值是

15.将代数式)1()12()12(2223-+-++++a x a a x a x 分解因式，得

16.A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，A 在前，C 在后，B 在A 、C 正中间. 10分钟后，C 追上B;又过了5分钟，C 追上A.则再过 分钟，B 追上A.

17.边长是整数，周长等于20的等腰三角形有 种，其中面积最大的三角形底边的长是

18.如图5，在△ABC 中，AC=BD ，图中的数据说明=∠ABC

19.如图6，直线13

3+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角.90, =∠BAC ABC △在第二象限内有一点)2

1,(a P ，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等.则△ABC 的面积是 ;a=

20. Given the area of △ABC is S 1 ,and the length of its three sides are 13

39,13113,10 respectively. And the perimeter of △A ′B ′C ′ is 18 , its area is S 2. Then the

relationship between S 1 and S 2 is S 1 S 2 . ( fill in the blank with ">"," = " or "<")

（英汉词典：area 面积；length 长度；perimeter 周长）

三、解答题每题都要写出推算过程

21.（本题满分10分） 解方程：?-+-=+++x x x x 4334324432

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22.（本题满分15分）

如图7，等腰直角△ABC 的斜边AB 上有两点M 、N ，且满足222AM BN MN +=，将△ABC 绕着C 点顺时针旋转90°后，点M 、N 的对应点分别为T 、S ．

(1)请画出旋转后的图形，并证明△MCN ≌△MCS

(2)求MCN ∠的度数．

图7

23．（本题满分15分）

已知长方形的边长都是整数，将边长为2的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形

的边平行或重合，且任意两个正方形重叠部分的面积为0，放人的正方形越多越好．

(1)如果长方形的长是4，宽是3，那么最多可以放人多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖

的面积占整个长方形面积的百分比是多少？

(2)如果长方形的长是n(n≥4)，宽是n-2，那么最多可以放人多少个边长为2的正方形？长方

形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？

(3)对于任意满足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55%.求长方

形边长的所有可能值．（已知74.055.0≈）

M N C

B A

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