13-6 匀速运动点电荷的磁场

四、运动电荷的磁场 v v µ0 Idl × er 载流子数密度 dB = 2 4π r dQ n sdl q = nsqv = I= dt dt v

P

v IdlS

v rv Idl

v µ0 (nsqv)dl × er dB = 2 4π r

电流元内总电荷数

v v µ0 dN qv × er dB = 4π r2一个电荷产生的磁场

dN = nsdl

+ q

v v v dB µ0 qv × er B= = 2 dN 4π r

一个电荷产生的磁场

方向： 方向：垂直于

r v和

v v v dB µ0 qv × er B= = dN 4π r2 r 确定的平面， r 确定的平面，遵守右手螺旋定则

大小

µ0 qv sin θ B= 2 4π r

讨论

θ = 0或πθ= π2

B=0Bmax

µ0 qv = 4π r 2

最大值

直线电流的磁感线

圆形电流的磁感线

直螺线管电流的磁感线 环形螺线管电流的磁感线

§13.7 安培环路定理静电场: 静电场 磁 场:

I

r r ∫LE dl = 0 r r ∫ B dl = ?L

静电场是保守场

Lv r

P

一、磁场的安培环路定理以无限长载流直导线为例

B=L

µ0 I2πr 2πr

v v µ0I ∫ B dl = Bcosθdl = L rd ∫ ∫

= µ0I

L

I v r d L

v v′ B rv dlθ

磁场的环流与环路中所包围的电流有关。 磁场的环流与环路中所包围的电流有关。

环路或电流之一方向反向

v v µ0 I L B dl = L 2πr rd ∫ ∫

= µ0Iµ0 I2πr2

I v r d L

v v′ B rθ

环路中不包围电流

v dlv B 1

B1 =

µ0 I2πr 1

B2 =

对一对线元来说

v v v v B1 dl + B2 dl= Bdl cosθ1 + B2dl cosθ2 1 µ0 Ird µ0 Ir2d 1 = =0 2πr 2πr2 1

I

vθ r2 2Id

v B2

v dl2 v

θ1

r 1

v dl1

L

若环路不包围电流， 若环路不包围电流， 则磁场环流为零。 则磁场环流为零。

L

IL L1

θL2

L2

L1

r r r r r r ∫ B dl = ∫ B dl + ∫ B dl

µ0 I = (∫ dθ + ∫ dθ ) L 2π L1 2

µ0 I [θ + ( θ )] = 2π=0

推广到一般情况

∫说明： 说明：

L

r r B dl = µ o ∑ I内

I3

电流分布

1)安培环路定理只适用于稳恒 ) 电流(闭合或伸展到∞ 电流(闭合或伸展到∞); 2) I 流向与 绕向成右手 ) 内 流向与L绕向成右手 关系时I 为正， 关系时 内为正， I内 流向与 绕向成左手 流向与L绕向成左手 关系时为负； 关系时为负； 3)环路上各点的磁场为所有 ) 电流的贡献； 电流的贡献； 4) 磁场是有旋场 )

I1> 0

I2< 0

L

r dl

nI1 > 0 L S

I2 < 0

—— 电流是磁场涡旋的轴心

安培环路定理

v v ∫ B dl =µ0 ∑Ii内L

恒定电流的磁场中， 的线积分( 恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分(环 路积分) 路积分)等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 µ0 倍。

注意：结合静电场中的高斯定理理解： 注意：结合静电场中的高斯定理理解： 1、环流只受内部电流影响，与外办无关。 、环流只受内部电流影响，与外办无关。 2、积分路径上每一点磁感应强度受空间所有电流和磁体

影响。 、积分路径上每一点磁感应强度受空间所有电流和磁体影响。 3、环流为 ，磁感应强度不一定处处为 。 、环流为0,磁感应强度不一定处处为0。 4、磁感应强度处处不为 ，环流可能为 。 、磁感应强度处处不为0,环流可能为0。 5、磁感应强度处处为 ，环流必为 。 、磁感应强度处处为0,环流必为0。

§13.8 利用安培环路定理求磁场的分布例1 求无限长圆柱面电流的磁场分布。 求无限长圆柱面电流的磁场分布。

R系统有轴对称性， 系统有轴对称性， 解 圆周上各点的 B 相同 时过圆柱面外P r > R 时过圆柱面外 点做一圆周

rIL0

∫ Bcosθdl = B dl = B2πr = µ I ∫LL

B=

µ0 I2πr

(r > R)

R

r<RL

时在圆柱面内做一圆周 时在圆柱面内做一圆周 圆柱面

Bcosθdl = B2πr = 0 ∫B=0(r < R)

rIµ0I2πR

L

推论： 推论：无限长圆柱体载流直导线 的磁场分布 电流密度

I J= πR2

r<R

Bm =

= µ0 jπr2 B = B2πr

2πR

µ0Ir2

o

R

r

求螺绕环电流的磁场分布。 例2 求螺绕环电流的磁场分布。 在螺绕环内部做一个环路， 解 在螺绕环内部做一个环路，

Bcosθdl = B 2πr = µ NI ∫L

IN

B = µ0 NI / 2πr

0

若螺绕环的截面很小， 若螺绕环的截面很小，

N B = µ0 I = µ nI 内 0 2πr若在外部再做一个环路， 若在外部再做一个环路，可得

r=R

oR 1hR2

r

dr

∑Ii = 0B外 = 0

S

求无限大平面电流的磁场。 例3 求无限大平面电流的磁场。 解 平板上下两侧的磁场平行于 平板，且垂直于平板电流， 平板，且垂直于平板电流， 又是面对称的。 又是面对称的。 取回路，环量为 取回路，v B

jbP

?

adv B'

v v v v v v B dl = ∫ B dl + ∫ B dl ∫ab cd

= B∫ dl + B∫ dla c

b

d

= µ0abj1 B = µ0 j 2

c

2B ab = µ0 ab j