2.2.1椭圆及其标准方程(第二课时)

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椭圆的标准方程 y

M

点1 焦 F ( c,0), F (c,0) 2

F1

O

F2

x

x2 y2 + 2 =1 a > b > 0) ( 2 a b

这 c2 = a2 b2 里

y

F2 M O F1

点1 焦 F (0, c), F (0, c) 2

x

y2 x2 + 2 =1 a > b > 0) ( 2 a b

这 c = a b 里

2 2

2

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x2 y2 例1.已知椭圆方程为 已知椭圆方程为 + =1 , 25 16

(1)已知椭圆上一点 P到左焦点 1的距离等于 ， 已知椭圆上一点 到左焦点 的距离等于6， 到左焦点F 则点P到右焦点的距离是 则点 到右焦点的距离是 4 （2）若CD为过左焦点 1的弦， 为过左焦点F ） 为过左焦点 的弦， 则 CF1F2的周长为 16 F2CD的周长为 20 的周长为 ， 。

D F1

；

C

F2

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如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式

x + ( y + 3) + x + ( y 3) = 10

2 2 2 2

M的轨迹是什么曲线 写出它的轨迹方程。 的轨迹是什么曲线？ 点M的轨迹是什么曲线？写出它的轨迹方程。

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如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式

x + ( y + 3) + x + ( y 3) = 10

2 2 2 2

的轨迹是什么曲线？ 点M的轨迹是什么曲线？写出它的轨迹方程。 的轨迹是什么曲线 写出它的轨迹方程。 解：

F1 (0, 3), F2 (0,3), a = 5

因此b = 4, 轨迹方程为 y2 x2 + =1 25 16

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在圆x2+y2=4上任取一点 ，过点 作x轴的垂线段 上任取一点P，过点P作 轴的垂线段 例1 在圆 上任取一点 PD，D为垂足。当点 在圆上运动时，线段 的中点 为垂足。 在圆上运动时， ， 为垂足 当点P在圆上运动时 线段PD的中点 M的轨迹是什么？为什么？ 的轨迹是什么？ 的轨迹是什么 为什么？ y

P

解：设点M 的坐标为( x, y ), 点P的坐标为( x0 , y0 ),

y0 由D的坐标为( x0 , 0), 则x = x0 , y = . 2

o

M D x

因为点P ( x0 , y0 )在圆x 2 + y 2 = 4上，所以x0 2 + y0 2 = 4

把x0 = x, y0 = 2 y代入方程，得x + 4 y = 4,

2 2

x2 即 + y 2 = 1.所以点M 的轨迹是一个椭圆。 4

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求动点轨迹方程的一般步骤 方程的一般步骤： 求动点轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线 ）建立适当的坐标系， 上任意一点M的坐标 的坐标； 上任意一点 的坐标； 的点M的集合 可以省略， （2）写出适合条件 的点 的集合；(可以省略， ）写出适合条件P的点 的集合； 可以省略 直接列出曲线方程) 直接列出曲线方程 ），列出方程 （3）用坐标表示条件 （M），列出方程 f ( x, y ) = 0 ）用坐标表示条件P（ ）， f ( x, y ) = 0 为最简形式； （4）化方程 为最简形式； ） （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 ） 曲线上的点(可以省略不写 如有特殊情况， 可以省略不写,如有特殊情况 曲线上的点 可以省略不写 如有特殊情况，可以 适当予以说明) 适当予以说明

坐标法

1.建系 1.建系 2.设坐标 2.设坐标 3.列等式 3.列等式 4.代坐标 4.代坐标 5.化简方程 5.化简方程

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