柱体、锥体、台体、球体体积

1.3.1 柱体、锥体、台体，球体的体积

柱体体积以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为： (S为底面面积，h为高). V Sh

一般棱柱体积也是：

V Sh其中S为底面面积，h为棱柱的高.

圆锥体积

圆锥的体积公式：

1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 . 3

1 V Sh 3

(其中S为底面面积，h为高)

锥体体积经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积

1 .即棱锥的体积： 的 3

1 V Sh(其中S为底面面积，h为高) 3由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 1 底面面积乘高的 . 3

台体体积根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略).A

PD

S B

C

hA

D

V VP ABCD VP A B C D 1 ( S S S S )h 3

S

CB

台体体积

棱台(圆台)的体积公式

1 V ( S S S S )h 3 其中 S , S 分别为上、下底面面积，h为圆台(棱台)的高.

台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？

上底扩大

上底缩小

V Sh

S S

S为底面面积， h为锥体高

1 S 0 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高

典型例题例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm3 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形，边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个( 取3.14)? 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即: 3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 2956 mm3 ) ( 2.956 cm3 ) (

所以螺帽的个数为 5.8 1000 (7.8 2.956 ) 252 (个)答：这堆螺帽大约有252个.

实际问题

如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且 涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？ 为什么？

实际问题

一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？

球的体积4 3 定理：半径是 的球的体积为： R R V 3

球的表面积定理：半径是R的球的表面积为：S 4 R 2

例4:圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：

2 (1)球的体积等于圆柱体积的 . 3(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

球的体积例5 某街心花园有许多钢球(钢的密度是 7.9g/cm3),每个钢球重145kg,并且外径等于 50cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还

是空心的.如果是实心的，请你计算出它的内 径(π取3.14,结果精确到1cm). 解：由于外径为50cm 的钢球的质量为：街心花园中钢球的质 量为145000g,而 145000<517054,所以钢 球是空心的.4 50 3 7.9 ( ) 517054g ) ( 3 2

球的表面积例5 某街心花园有许多钢球(钢的密度是 7.9g/cm3),每个钢球重145kg,并且外径等于 50cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还 是空心的.如果是实心的，请你计算出它的内 径(π取3.14,结果精确到1cm). 解： 设球的内径是2xcm,那么球的质量为： 4 50 3 4 3 7.9 [ ( ) x ] 145000 3 2 3x 3 11239 .42

x 22.4 2x 44.8

答：钢球是空心的.其内径约为45cm.

球的表面积例6 如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面 是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个 半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装 饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?解：圆柱形物体的侧面面积

S1 3.1 1 3 9.3(m2 )

半球形物体的表面积为 1 2 S2 2 3.1 ( ) 1.6(m2 ) 2

S1 S2 10.9(m )2

10.9 150 1635(朵)答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花.

随堂练习

(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.

(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的

4 倍.4.

(3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是 1 : 2 2 .

(4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是 1 :

3

影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.

2.有三个球,一球切于正方体的各面,一球 切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面

知识小结柱体 V Sh

S S'柱体、锥体、台体的体积1 台体 V ( S S S S )h 3

S ' 01 锥体V Sh 3

球的体积

4 3 V R 32

球的表面积 S 4 R

作业P29 习题1.3A组 3,4 B组 1