高中数学立体几何知识点复习总结(2)

注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°； 当直线垂直于平面时，θ=90° 3 面面平行

3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。

3.2 面面平行的判定定理：

⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即：

推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：

⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：

3.3 面面平行的性质定理

图2-5 判定1推论

图2-4 面面平行

图2-3 线面角

线面平行 (用于证明)； 线面平行 (用于证明)；

⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。

⑴ ⑵

(面面平行线面平行)

⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直

1.1 线面垂直的定义：若一于平面内的任意一条直线，则直于平面。

1.2 线面垂直的判定定理：

1.3 线面垂直的性质定理：

⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。

即：

⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。 即：

1.4 常用的判定或证明线面垂直的依据 ⑴ 利用定义，用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。

⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。

⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。 ★1.5 三垂线定理及其逆定理

⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。 如图：

⑵ 三垂线定理及其逆定理

已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面 α内的一条直线。

① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。

图2-7 斜线定理

条直线垂直这条直线垂

② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。 ⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段。 2 面面斜交和二面角

2.1 二面角的定义：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。 2.2 二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°] 2.3 二面角平面角的作法：

⑴ 定义法：证明起来很麻烦，一般不用； ⑵ 三垂线法：常用方法；

⑶ 垂面法：常用于空间几何体中的二面角。 3 面面垂直

3.1 面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。

3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 即：

3.3 面面垂直的性质定理

⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°； ⑵ ⑶ ⑷

三 立体几何主要难点

图2-11 面面垂直性质

3 图2-10 面面垂直性质

2 图2-9 面面垂直

图2-8 三垂线定理

1 三种角的对比

2 立体几何知识网络