循环卷积与线性卷积的实现

实验五 循环卷积与线性卷积的实现

一、实验目的

（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； （2） 理解掌握二者的关系。

二、实验原理

两个序列的N点的循环卷积定义为

[h(n) x(n)]N h(m)x((n m))N (0 n N)

k 0N 1

从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点序列的N点循环

卷积结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

两个序列的N点循环卷积是它们的线性卷积以N为周期的周期延拓。设序列h(n)的长度为N1，序列x(n)的长度为N2，此时线性卷积结果的序列点数为N' N1 N2 1；因此如果循环卷积的点数N小于N1 N2 1，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果满足N N'的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0 n N范围内相同。

根据DFT循环卷积性质中的卷积定理

DFT{[h(n) x(n)]N} DFT[x(n)] DFT[h(n)]

因此可以根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。

三、实验分析

例题：已知有限长序列x(n)与h(n)如下图所示， （1） 画出两者之间的线性卷积 （2） 8点圆卷积。 （3） 5点圆卷积。

解析如下：

（1）x(n)与h(n)的线性卷积，由公式可知：

h(n)*x(n)

m

x(m)h(n m)

x(m)与h( m)的图形如下：

利用方格平移法：

由方格平移法可知： 当n 0时，h(n)*x(n) 0 当n 1时，h(n)*x(n) 0

当n 2时，h(n)*x(n) 0*1 1*1 1 当n 3时，h(n)*x(n) 2*1 1*1 0*1 3 当n 4时，h(n)*x(n) 3*1 2*1 1*1 0*1 6 当n 5时，h(n)*x(n) 3*1 2*1 1*1 0*1 6 当n 6时，h(n)*x(n) 3*1 2*1 1*1 6 当n 7时，h(n)*x(n) 3*1 2*1 5 当n 8时，h(n)*x(n) 3*1 3

得到图形如下：

（2）x(n)与h(n)的8点圆卷积，由公式可知：

x(n) h(n) x((m))8h((n m))8G8(n)

n 0

7

x((m))8与h(( m))8的图形如下：

根据下面图表可计算得到圆卷积：

取和得到圆卷积为3。

当n 2时： 取和得到圆卷积为1。

取和得到圆卷积为6。

n 5取和得到圆卷积为6。

取和得到圆卷积为6。

n 7取和得到圆卷积为5。

得到波形如下：

（2）x(n)与h(n)的5点圆卷积，由公式可知：

x(n) h(n) x((m))4h((n m))4G4(n)

n 0

4

x((m))4与h(( m))4的图形如下：

根据图标可计算得到圆卷积： 当n

0取和得到圆卷积为6。

当n 1时：

取和得到圆卷积为6。

当n

2

当n

3取和得到圆卷积为6。

当n

4

画出波形如下：

四、仿真实验

Matlab程序设计如下：

编写的循环卷积程序：

方法一：直接根据定义计算，程序编辑如下：

function y=circonv1(x1,x2,N) if length(x1)>N

error('N must not be less than length of x1') end

if length(x2)>N

error('N must not be less than length of x2') end

x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))]; n=[0:1:N-1];

x2=x2(mod(-n,N)+1); H=zeros(N,N); for n=1:1:N

H(n,:)=cd(x2,n-1,N); end

y=x1*H';

function y=cd(x,m,N) if length(x)>N error end

x=[x zeros(1,N-length(x))]; n=[0:1:N-1]; n=mod(n-m,N); y=x(n+1);

方法二：根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积

function y=circonv2(x1,x2,N) if length(x1)>N error('N must not be less than length of x1') end

if length(x2)>N error('N must not be less than length of x2') end

X1k=fft(x1,N); X2k=fft(x2,N);

Yk=X1k.*X2k; y=ifft(Yk);

if((all(imag(x1)==0))&&(all(imag(x2)==0))) y=real(y); end

编写的主程序：

n=[0:1:4];m=[0:1:4];

N1=length(n);N2=length(m); xn=ones(1,5); hn=[0,0,1,2,3]; y1n=conv(xn,hn);

y2n=circonv2(xn,hn,N1+N2-1); y3n=circonv1(xn,hn,N1); ny1=[0:1:length(y1n)-1]; ny2=[0:1:length(y3n)-1]; subplot(3,1,1); stem(ny1,y1n); subplot(3,1,2); stem(ny1,y2n); subplot(3,1,3); stem(ny2,y3n);

运行结果如下：

图表 1实验结果

与理论结果一致。

五、实验小结

通过本次实验理解并掌握了循环卷积与线性卷积的概念，也掌握了两者之间的关系。学会了matlab中线性卷积函数，以及如何编写循环卷积。在仿真过程中出现了一些问题，由于matlab提供线性卷积函数，则只需要自己编写循环卷积，在编写过程中，没有注意到matlab中的大小写的严格区别，导致程序运行错误。经过反复检查之后发现了错误，经改正后得到了正确的运行结果。收获很大。