第4章 金属自由电子论

陈万军

4.1 经典自由电子论4.1.1 特鲁德模型(1)忽略电子与电子的库伦排斥相互作用。 (2)电子在没碰撞时，电子与电子、电子与离子实的相 互作用被忽略，电子的能量只是动能。

(3)电子只与离子实发生弹性碰撞(τ, l)。(4)电子气是通过和离子实的碰撞达到热平衡的，碰撞 前后电子速度毫无关联，运动方向是随机的，速度是和碰 撞发生处的温度相适应的，其热平衡分布遵从波尔兹曼统 计。《固体物理学》 微电子与固体电子学院 1

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4.1 经典自由电子论解释了金属的电导、热导等问题，并证明了金属热导率κ

除以电导率与绝对温度的乘积 T是一个与温度无关的普适常数。与魏德曼-弗兰兹定律相符，但在推导电子气比热 方面失败。

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4.1 经典自由电子论4.1.1 对金属导电现象的解释

1、电导率有限性

σ= neμ当温度升高的时候，金属电导率的变化主要 取决于电子迁移率。因为晶格中的原子和离 子不是静止的，它们在晶格的格点上作一定 的振动，且随温度升高这种振动会加剧，正 是这种振动对电子的流动起着阻碍作用，温 度升高，阻碍作用加大，电子迁移率下降， 电导率自然也下降了。《固体物理学》 微电子与固体电子学院 3

+ e

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4.1 经典自由电子论2、魏德曼---弗兰兹定律电导率 与热导率κ的经验关系称为魏德曼-弗兰兹定律，即： κ/ T=L 其中L称为洛伦兹数，当 的单位为(欧姆-1,米-1), κ为(瓦· 米-1· -1)时： 开 L=2.45×10-8 W · K-2 ·

理论与实验符合很好。

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4.1 经典自由电子论缺点：如果每个电子具有3/2KBT的能量，那麽每个电子就

应该对固体比热中作出一个3/2KB的额外贡献，但实际测得金属的摩尔热容在足够高的温度下为3R,与非金属一样。 所以由于某种不知道的原因，电子对比热的贡献非常小。

金属的比热 = 晶格原子贡献比热 +电子贡献的比热

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4.1 经典自由电子论按玻尔兹曼统计得出的经典能量均分定理，每个电子有三

个自由度，每个自由度上对应平均动能为kBT/2 ,设每个原子的价电子数为 Z。1 mol 金属中自由电子的内能：

3 U N 0 Z kT 2

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4.1 经典自由电子论电子对比热的贡献为

3 U Cve N0 Z k T V 2

室温下 1 mol 一价金属的比热为：

3 Cv Cvl Cve 3R R 4.5R 2实验表明：室温下，金属的比热接近3R,全部由晶格贡献。

金属中自由电子起着电和热的传导作用，却对比热几乎没贡献。

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4.1 经典自由电子论经典理论自由电子论无法解释这一现象。直到索末菲把量

子力学应用到自由电子系统，才得到圆满的解释。

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4.2 量子自由电子论4.2.1 自由电子的波函数与能量金属中的价电子可以被看成是理想气体，电子之间没有相互作用，各自独立地在势能等于平均势能的势场中运动。 这些电子存在于有一定深度(近似为无限深)方势阱中， 服从量子力学规律和能量分布。 单电子薛定谔方程：2

2 (r ) [ E V (r )] (r ) 0 2m《固体物理学》 微电子与固体电子学院 9

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4.2 量子自由电子论用近自由电子近似来处理金属电子，作为零级近似，可以

把金属看成是一个边长为L的立方体，根据金属自由电子理论的基本观点。由于电子被限定在金属中，所以，可以认 为金属中的电子是在一个无限深方势井中运动,势能函数为：Z

在势井中势能为零,在势井外势能为无限大。L L Y

0 0 x, y, z L V (r ) x, y, z 0; x, y, z L

L

X

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4.2 量子自由电子论在量子力学中，三维边长为L的无限深阱中电子的运动状态

可以用平面波来描述： ik r

Z

Ae

L

K为波矢，A由归一化条件决定。 3 1 2 A L V 决定这一状态的能量为：

L L

Y

X

2K 2 2 2 2 2 E kx k y kz 2m 2m

11

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4.2 量子自由电子论Z

由周期性边界条件：

L

(0, y, z ) ( L, y, z ) ( x, o, z ) ( x, L, z ) ( x, y , o ) ( x, y , L)X L

L

Y

e

ikx L

e

ik y L

e

ikz L

12 kz nz L

2 kx nx L

2 ky ny L

式中nx,ny,nz是整数，称为量子数。《固体物理学》 微电子与固体电子学院 12

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4.2 量子自由电子论于是电子能量可写为：

2 2 2 E kx k y kz 2m2 2

2

2 2 2 nx n y nz2 2m L

可见，自由电子能量依赖 于一组量子数(nx,ny,nz),能量只能是一系列分离的数值，这些分离的能量被称为能级。按照泡 利原理，每个电子能级允许容纳两个自旋相反的电子。《固体物理学》 微电子与固体电子学院 13

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4.2 量子自由电子论4.2.2 波矢空间与电子能量分布可用一个波矢的k值来标志电子的一个空间状态Ψ,由波矢 K所代表的自由电子可能的空间运动状态称为空间电子态， 每一个电子态(Kx,Ky,Kz )在波矢空间可用一个点来表示。kz

O

ky

kx

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4.2 量子自由电子论空间电子态在K空间的分布是均匀的，沿

Kx,Ky,Kz轴的两个

相邻电子态之间的距离相同，为2π/L,每一个空间电子态

2 3 平均占有K空间的体积为kz

V

O

ky

kx

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4.2 量子自由电子论K空间中 k 的密度(k空间中单位体积区V 域内所含有的空间电子态数目), 2 3

kzdK

空间电子态数目，考虑自旋，则为 2V 3 2 电子态密度函数：能级E附近单位能量

ky

kx

间隔的电子状态总数 ， g ( E )

dZ dE

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4.2 量子自由电子论k与能量 E的关系：

2mE 2mE 2 k k k 2 ,k 2 2 x 2 y 2 z3

等k值面为球面，在零到k的范围内，K空间的体积为 4 k 3 2V 因为在K空间中单位区域内电子态数为 ，故从零到 3 2 k的范围内，总的电子态数目为:

4 3 2V V 2mE Z (E) k 2 2 3 3 (2 ) 3

3/ 2

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4.2 量子自由电子论于是自由电子的状态密度为：

dZ V 2m g (E ) E cE 2 2 dE 2 1 2

3 2

1 2

可见自由电子的态密度g(E)乃是能量E的函数，显然g(E)~E 的关系曲线是抛物线的一支。g(E)

0

E

《固 …… 此处隐藏：1855字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……