线性代数部分讲义(2)

则A?______.第三章n维向量一、知识结构网络图??概念：若存在不全为0的k1?，k1，使k1?1???ks?s＝0???（?，?s）x＝0 有非0解??1，?2，??????充要条件?（r?1，?2，?，?s）?s???线性相关????判定??某?ii可由?1,??i-1,?i?1,?,?s表出??????充分条件?n?1个n维向量??????多数向量能用少数向量表示?????概念:如果k1?1???ks?s＝0,则必有k1?0,?,ks?0????（?，?s）x?0只有零解??1，??判??n维向量???（r?1，?，?s）?s?线性无关?????i,?i不能由其余的表示?????阶梯形向量组 ?定????? ?? ????概念?极大线性无关组??求法?? ????向量组的秩-矩阵的秩定义 在向量组?1，?2，?，?s中,如存在r个向量?i1,?i2,?,?ir,线性无关,再加进任一个向量?j?j?1.2.?,s?就线性相关,则称?i1,?i2,?,?ir是向量组?1，?2，?，?s的一个极大线性无关组.定义 向量组?1，?2，?，?s的极大线性无关组中所含向量的个数r称为这个向量组的秩.二、重要定理定理3 向量组?1，?2，?，?s线性相关?x1???x2 ?齐次线性方程组??1，?2，?，?s????0有非零解???????xs?? ?向量组的秩r??1，?2，?，?s??s.推论1 n个n维向量?1，?2，?，?n线性相关的充分必要条件是行列式?1，?2，?，?n?0.推论2 n?1个n维向量一定线性相关.定理3.2如果向量组?1，?2，?，?s的一个部分组线性相关,那么向量组?1，?2，?，?s亦线性相关;反之,如果?1，?2，?，?s线性无关,那么它的任一部分组都线性无关.定理3.3 设?1，?2，?，?s是m维向量,?1,?2,?,?s是n维向量,令??s???1???2? ?1???,?2???,?,?s???,??1???2???s?其中?1,?2,?,?s,是m?n维向量.如果?1，?2，?，?s线性无关,则?1,?2,?,?s,线性无关;反之,若?1,?2,?,?s线性相关,则?1，?2，?，?s线性相关.

三、线性相关1.下列向量组中，线性无关的是（A）（1，，23，4）(2,3,4,5),(0,0,0,0).(B)(a,b,c,),(b,c,d),(d,e,f),(f,g,h)(C)(a,1,b,0,0),(c,0,d,6,0),(a,0,c.5,6)?1?2.设三阶矩阵A?2???3TTTTTTTTTT，TT210?2?T?2,三维列向量??（a,1,1)，已知A?与?线性相关，则a??4??TTTT3.若?1?（1，，23，1），?2?(1,1,2,?1),?3?(2,6,a,5)?4?(3,4,7,?1)线性相关，则a?___.4.若?1?(1,3,4,-2,),?2?(2,1,3,t),?3?(3,?1,2,0)线性相关,则t?_____.5.已知向量组?1，?2，?3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（A）?1??2，?2??3，?3??1（B）?1??2，?2??3，?1?2?2??3，（C）?1?2?2，2?2?3?3，3?3??1（D）?1??2??3，2?1?3?2?22?3，3?1?5?2?5?36.已知向量组?1，?2，?3线性无关，向量组?1?a?2，?1?2?2??3，a?1??3线性相关，则a=____?2??1??1??0??????????0???1??0??0?7.设?1???,a2???,a3???,a4????0??2??7??0??????a1???a2???a4???a3??其中?1，?2，?3，?4为任意实数，则?A??1，?2，?3必线性相关 ?B??1，?2，?3必线性无关?C??1，?2，?3，?4必线性相关 ?D??1，?2，?3，?4必线性无关8.设有任意两个n维向量组?1,?,?m和?1,?,?m.若存在两组不全为零的数?1,?,?m和k1,?,km,使(?1?k1)?1???(?m?km)?m?(?1?k1)?1??(?m?km)?m?0,则?，?m都线性相关?A??1,?,?m和?1，?，?m都线性无关?B??1,?,?m和?1，

?C??1??1,?,?m?D??1??1,?,?m??m,?1??1,?,?m??m,线性无关??m,?1??1,?,?m??m,线性相关 四. 向 量 组 的 秩1. 向量组?1?（1，3，6，2），?2??2，1，2，?1?，?3??1，?1，a，?2?的TTT秩为2，则a?______.TTTT2. 向量组?1??1，1，1，1?，?2???1，1，?1，1?，?3???1，1，1，?1?，?4???1，?1，11?的极大线性无关组是______；TTT3. 已知向量组?1??1，1，1，3?，?2??1，3，?5，?1?，?3???2，?6，10，a?，?4??4，1，6，a?10?线性相关，则向量组?1，?2，?3，?4的极大线性无关组是______.4. 设向量组?1，?2，?，?s的秩为r，则（）.T?A?必定r?s；?B?向量组中任意小于r个向量的部分组无关；?C?向量组中任意r个向量线性无关；?D?向量组中任r?1个向量必线性相关.5.设A是m?n矩阵，且其列向量组线性无关，B是n阶矩阵，满足AB?A,则秩r?B?____.?A?等于n ?B?小于n ?C?等于1 ?D?不能确定.6. 设A是m?n矩形，B是n?m矩阵，则（）.?A?当m?B?当m?C?当n?D?当n?n，必有行列式AB?0.?n，必有行列式AB?0.?m，必有行列式AB?0.?m，必有行列式AB?0.7.设A为m?n矩阵，秩r?A??m?n，不正确的命题是（）.?A?A的行向量组线性无关.?B?A中有m个线性无关的列向量.?C?A的列向量组线性相关.?D?A中任m个列向量线性无关.

第四章　　　线形方程组一、知识结构网络图??Ax?b ??有解判定r?A??rA?解的结构?矩??? ?导出组?阵?初等行变换阶梯形? 通解?形...?...?...? 有非0解 r?A??n? 基础解系 ???式???Ax?0 ????方???若?1，?2是Ax?b的解，则?1?a2是Ax?0的解 ?程??解的性质?若?1，?2是Ax?0的解，则k1?1?k2?2是Ax?0的解 组??若?是Ax?b的解，?是Ax?0的解,则???是Ax?b的解?????????特解，通解?解的结构? ?自由变量??????? ?解的结构?对非齐次线性方程组Ax?b,若r?A??rA?r,且已知?1，?2，?，?n-r是导出组Ax?0的基础解系，?0是Ax?b的某个已知解，则Ax?b的通解为 ?0?c1?1?c2?2???cn?r?n?r，其中c1,c2,?，cn?r为任意常数。 如果?1,?2,?，?t是Ax?0的基础解系 ?1??1,?2,?，?t是Ax?0的解； ?2??1,?2,?，?t线性无关 ?3?Ax?0的任何一个解可由?1,?2,?，?t线性表出； ?3'?n?r?A??t点评 ?1?非其次线性方程组Ax?b可能有解?唯一解或无穷多解?亦可能无解,要用秩r?A??rA作有解判定。?????2?n元齐次方程组Ax?0必有零解，问题是除去零解之外是否还有其它的解?即非零解?？判断方法是检查r?A??n?特殊情况可检查行列式A?0?

?3?要搞清楚基础解系这一概念，其实它就是解向量的极大线性无关组，要掌握基础解系的求法?4?要熟悉线性方程组的性质，掌握解的结构，熟练运用初等行变换求通解?特解、导出组基础解系?。

二. Ax?0?1?1.设A?2???1?01237?11432??3，则Ax?0的基础解系中所含解向量的个数为（）.?0???A?1 ?B?2 ?C?3 ?4?4 ?x1?2x2?3x3?4x4?0??2x1?3x2?4x3?5x4?02. 齐次方程组?，3x?4x?5x?6x?0234?1?4x?5x?6x?7x?0234?1的基础解系是（）. ?A???3，0，1，0?，?2，?3，0，1?TTT ?B?k1?1，?2，1，0??k2?2，?3，0，1? ?C??2，?3，0，1?TT31???1，?，0，?22??TT ?D???3，4，1，?2?,?3,?5,1,1?T1??3. 已知向量?1??1，?1，1，0?，?2??0，1，?，2?，?3???2，0，1，?2?，?4??1，?1，0，0?，2???5??0，?2，1，?2?，则齐次线性方程组?x1?x2?x4?0， ??2x3?x4?0的基础解系是（）. ?A??1，?2； ?B??2，?5； ?C??3，?4； ?D??3，?4，?5.4. …… 此处隐藏：4067字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……