线性代数部分讲义

第一章 行列式一、知识结构网络图?概念 不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项） ??经转置行列式的值不变 ???某行有公因数k,可把k提到行列式外 ????性质?某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和 ?两行互换行列式变号 ??????某行的k倍加至另一行，行列式的值不变 ?n???A??aijAij (按i行展开)??j?1 代数余子式 ?展开式?n??A??aijAij (按j行展开)??i?1?????三角化法???数字型?公式法 ???递推法??行???计算 ???列??用行列式性质 ??抽象型?用矩阵性质 式?????用特征值 A??? ??i?????Ax?0有非零解??反证法 ????证A?0?r?A??n ??0是A的特征值?????A??A ???Ax?0有非零解 ??伴随矩阵求逆法 ?????线性相关（无关）判定?应用? 可逆的证明 ????克莱姆法则 ?????特征值计算 ?点评：（1）二、三阶行列式aca1b1c1bd?ad?bca3b3?a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2c3a2b2c2这样的计算方法对4阶及4阶以上行列式不适用.(2)对行列式的性质3要理解正确,例如a1?b1c1d1a2?b2c2d2a3?b3c3d3a1?c1d1a2c2d2a3d3b1d1b2c2d2b3c3d3c3?c1对于n阶矩阵A??aij?,B??bij?,有A?B??aij?bij?,由于行列式A?B中每一行都是两个数的和,所以若用性质3把行列式A?B拆开,则A?B应当是2个n阶行列式之和,不要错误的认为A?B?A?B.n

二 重要定理 定理1.1 n阶行列式a11 D?a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即 D?ak1Ak1?ak2Ak2???aknAkn?k?1,2,?,n?. ?1.3? 公式?1.3?称为行列式按第k行的展开公式. 定理1.2 n阶行列式D等于它的任意一列的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即 D?a1kA1k＋a2kA2k＋?＋ankAnk ?k?1,2,?,n?. ?1.4? 公式?1.4?称为行列式按第k列的展开公式. 定理1.3 设n阶行列式a11 D?a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann 元素aij的代数余子式为Aij,当i?k ?i,k?1,2,?,n?时，有 ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn?0 ?1.5? 当j?k?j,k?1,2,?,n?时，有 a1jA1k?a2jA2k???anjAnk?0 ?1.6???注?? 在n阶行列式a11 D?a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann 中划去元素aij所在的第i行、第j列，由剩下的元素按原来的排法，构成一个n-1阶的行列式a11? ai?1,1ai?1,1?an1????a1j?1?ai?1,j?1ai?1,j?1?an,j?1i＋ja1j?1?ai?1,j?1ai?1,j?1?an,j?1?a1n?ai?1,nai?1,n?ann??

?称其为aij的余子式，记为Mij.而称?－1?即 Aij? ?－1?i＋jMij为aij的代数余子式，记为Aij,Mij ?1.2? 三 主要公式?1?上?下?三角行列式的值等于主对角线元素的乘积a11 a12a22???a1na2n?ann?a11a21?an1a22?an2???ann?a11a22?ann, ?1.7??2?关于副对角线的行列式a11 a21?an1 ??-1?a12a22?0n?n?1?2??a1,n-1a2,n-1?0an10?0?00?an1??0a2,n-1?an,n-1a1na2n?ann??a1na2,n-1?anl. ?1.8??3?两个特殊的拉普拉斯展开式a11? an10?0a11??an1c11? cn1b11?bm1???1??a11mn?a1n?ann0?c11?cn1b11?bm1b11??bm1a11?an10?0a1n?ann?c1m?cnmb1m?bmmb1m?a11??an1c11?cm1?a1n?annc1n?cmn0?0b11?bm1?0?????????0b1m?bmm??0a1n?annc1m?cnmb1m?bmm?????. ?1.9?????bmma1n?ann0?0??0b11?bm1b1m??bmm ?1.10?????0?0b1m?bmma11?an1c11?cm1????a1n?annc1n?cmm?????b11??bm10??an1??4?范德蒙行列式1x1 x1?x1n-121x2x2?x2n-12???1xnxn?xn2???x1?j?i?ni?xj? ?1.11??n-1?5?特征多项式 设A??aij?是3阶矩阵，则A的特征多项式 ??-A????a11?a22?a33???s2??A ?1.12?32其中 s2?a11a21a12a22?a11a31a13a33?a22a32a23a33

四. 方阵行列式?1?若A是n阶矩阵，则kA?kA; ?1.12?AB?AB; ?1.13?n?1n?2?若A,B都是n阶矩阵，则?3?若A是n阶矩阵，则A*?A; ?1.14??1?4?若A是n可逆阶矩阵，则A-1?A ?1.15??5?若A是n阶矩阵，?i?i?1,2,?,n?是A的特征值，n则A???i?1i; ?1.16??6?若A?B,则A?B. ?1.17? 五. 克莱姆法则若线性方程组?a11x1?a12x2???a1nxn?b?1 ?a21x1?a22x2???a2nxn?b?2?? ? ? ??an1x1?an2x2???annxn?bn的系数行列式a11a12?a1n D=a21a22?a2n?0an1an2?ann则方程组有惟一解 xD1n1=D,x2=D2D,?,xn=DD 其中a11?a1j-1b1a1j+1?n D=?ba21?a2j-1b2a2j+1?jiAij=i?1????an1?anj-1bnanj+1? 推论 若齐次线性方程组?a11x1?a12x2???a?1nxn?0 ?a21x1?a22x2???a2nxn?0??? ? ? ???an1x1?an2x2???annxn?0的系数行列式不为0，则方程组只有零解. ?1.18?a1na2n?ann

数字型行列式a111.已知a21a31a12a22a32a13a23?3,则a33a11 a12a132a31?5a212a32?5a222a33?5a233a213a22?? ?3a23 ?A?18; ?B??18; ?C?-9; ?D?27. x?22.记行列式2x?23x?34x数为 ?A?1; ?B?2; ?C?3; ?D?4. ? ? a13.四阶行列式00b40a2b300b2a30b100a4的值等于x?12x?13x?24x?3x?22x?24x?55x?7x?32x?33x?54x?3为f?x?,则方程f?x??0的根的个 ?A?a1a2a3a4-b1b2b3b4 ?B? a1a2a3a4?b1b2b3b4 ?C??a1a2-b1b2??a3a4-b3b4 ? ?D??a2a3-b2b3??a1a4-b1b4 ? ? ? 14.计算11aa1?x5.?x00a16.a2a3a417.1111200-1x00103011a1a2x?x00-1x01004?______. 1a11a30x?x00-1x?________.a111a400x?_______.?_______.

含参数行列式11.若5001 23426001x3437x413x614835116x?11?0,则??____.?0,则x?____.?0,则x?____.??32.若1?1??51?2??32?k?0,则??____.??33.若k?4??1?2??3 抽象行列式1.?,?,?1,?2,?3均为4维列向量，已知A?? ?1 ?2 ?3?5,B?? ?1 ?2 ?3?-1,则A?B? ?A?4 ?B?6 ?c?32 ?D?48 ? ? 2.已知 ?1,?2,?3,?,?均4维列向量，若4阶行列式?1 ?2 ?3 ?＝a,??? ?1 ?2 ?3＝b,那么4阶行列式2? ?1 ?2 ?3? ?A?2a?b ?B?2b?a ?C??2a?2b ?D??2a?2b ? ?3.设A,B均为n阶矩阵,A?2,B??3,则 AB?AB?1?4.设A?0???2234-1**?112AB*T?____.?____?1?1*?*5,A是A的伴随矩阵，则A?____.?22??

第二章 矩 …… 此处隐藏：4851字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……