河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试数学（理）试题(3)

18．（1）4.76；（2）有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关 【解析】 试题分析：

（1）由频率直方图中各概率乘以各方块中点频率相加后即得；

（2）从频率直方图中可计算出“微信控”和“非微信控”的男女生人数，再计算出 可得． 试题解析：

(1)女性平均使用微信的时间为：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76. (2)2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08. 由题设条件得列联表： 性别 男性 女性 总计 所以K＝

≈2.941＞2.706.

所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．

19．（1）证明见解析；（2） ；（3）当 最大时，点N在线段CD上，且 【解析】 【分析】

（1）取线段SC的中点E，根据中位线定理即可证明 ，因而得到AMED为平行四边形，即可证明 平面SCD．

（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，因而可以求得平面AMC和平面SAB的法向量，利用法向量的数量积求得平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值即可。 （3）设出N点坐标，利用直线与平面夹角的正弦值即为直线与平面法向量夹角的余弦值即可求得 的表达式；根据基本不等式成立的条件，求得N点的坐标，即可判断出N点的位置。

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2

微信控 38 30 68 非微信控 12 20 32 总计 50 50 100 ＝

．

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【详解】

（1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．

在 中，ME为中位线，∴ ，

∵ ， ∴ ，

∴四边形AMED为平行四边形． ∴ ．

∵ 平面SCD， 平面SCD， ∴ 平面SCD．

（2）解：以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS为x轴、y轴、z轴，如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， 由条件得M为线段SB近B点的三等分点．

，即 于是

设平面AMC的一个法向量为 ，则 ，

将坐标代入得 ，

另外易知平面SAB的一个法向量为 ，

所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为

．

（3）设 ，其中 ．

． 由于 ，所以

所以 可知当

，

，即 时分母有最小值，此时 有最大值，

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此时， ，即点N在线段CD上且 【点睛】

．

本题考查了线面平行关系的判定，空间法向量法在求面面夹角中的综合应用，结合基本不等式求最值的方法，涉及计算量较大，属于中档题。 20．(1)

.

为定值 . (2) 在 轴上存在定点 ，使得 【解析】

分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆 的长轴为直径的圆与直线 相切，结合性质 ，列出关于 、 、 的方程组，求出 、 、 ，即可得结果；(2) 设直线 联立 ，得

. 假设 轴上存在定点 ，由韦达定理，利用平面 ，要使 为定值，则 的值向量数量积公式可得

与 无关，所以 ，从而可得结果.

详解：（1）由题意知， ，解得

则椭圆 的方程是

（2）①当直线的斜率存在时，设直线 联立

，得

所以

为定值。 假设 轴上存在定点 ，使得

所以

为定值，则 的值与 无关， 要使

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所以

解得 ，

为定值，定点为 此时 ②当直线的斜率不存在时，

，

也成立

为定值 所以，综上所述，在 轴上存在定点 ，使得

点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21．（1）当 时，函数 的单调增区间是 ，无单调减区间；当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ；（2）1个. 【解析】 【分析】

（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；

（2）问题转化为求函数 的零点个数问题，通过求导，得到函数 的单调区间，求出 的极小值，从而求出函数 的零点个数即 和 的交点个数. 【详解】

（1）函数 的定义域为 ，

，

当 时， ，所以函数 的单调增区间是 ，无单调减区间； 当 时，

；

当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增.

综上，当 时，函数 的单调增区间是 ，无单调减区间； 当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 .

（2）令 ， ，问题等价于求函数 的零点个数，

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当 时， ， ，有唯一零点；

当 时，

，

当 时， ，函数 为减函数，注意到 ， ，所以 有唯一零点；

当 时，由 得 或 ，由 得 ，所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，注意到 ，

， 所以 有唯一零点； …… 此处隐藏：1054字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……