2012年辽宁省辽阳市中考数学试卷及答案(5)

（2）与（1）同理可得BD=CF， 所以，CF=BC+CD； （3）①与（1）同理可得，BD=CF， 所以，CF=CD﹣BC； ②∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 则∠ABD=180°﹣45°=135°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°， ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°， ∴∠FCD=∠ACF﹣∠ACB=90°， 则△FCD为直角三角形， ∵正方形ADEF中，O为DF中点， ∴OC=DF， ∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF， ∴OC=OA， ∴△AOC是等腰三角形． 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键． 八、解答题（本题14分）

26．（14分）（2012?锦州）如图，抛物线y=ax+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为于B．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式；

（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l

2

，

考点： 二次函数综合题． 专题： 计算题；压轴题；分类讨论． 分析： （1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次函数的解析式． （2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式． （3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况： ①以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标； ②以OF为边，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出点M的坐标． 2解答： 解：（1）∵抛物线y=ax+bx﹣3交y轴于点C ∴C（0，﹣3）则 OC=3； ∵P到x轴的距离为∴P（﹣1，﹣）； ，P到y轴的距离是1，且在第三象限， ∵C关于直线l的对称点为A ∴A（﹣2，﹣3）； 将点A（﹣2，﹣3），P（﹣1，﹣）代入抛物线y=ax+bx﹣3中，有： 2，解得 ∴抛物线的表达式为y=x+x﹣3． （2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90° ∵∠DEG=∠BEC ∴△DEG∽△BEC ∵DE：BE=4：1， ∴DG：BC=4：1； 已知BC=1，则DG=4，点D的横坐标为4； 将x=4代入y=x+x﹣3中，得y=5，则 D（4，5）． 22

∵直线y=x+m过点D（4，5） ∴5=×4+m，则 m=2； ∴所求直线的表达式y=x+2． （3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF=2； 设点M（x，x+2），则：OM=2x+3x+4、FM=22x； 2（Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1； ∴x+2=1，x=﹣；即点M的坐标（﹣，1）． （Ⅱ）当OF为菱形的边时，有： ①FM=OF=2，则：x=4，x1=、x2=﹣ 、y2=； 2代入y=x+2中，得：y1=即点M的坐标（，②OM=OF=2，则：）或（﹣，）； x+3x+4=4，x1=0（舍）、x2=﹣； ）； ）、（﹣，）、（﹣，）． 2 代入y=x+2中，得：y=即点M的坐标（﹣，综上，存在符合条件的点M，且坐标为（﹣，1）、（， 点评： 此题主要考查的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等．最后一题容易漏解，一定要根据菱形顶点排列顺序的不同进行分类讨论．

参与本试卷答题和审题的老师有：星期八；zjtlxl；sks；HJJ；caicl；sjzx；zcx；CJX；HLing；gsls；sd2011；gbl210；zhjh；蓝月梦；zjx111；zhxl；MMCH（排名不分先后） 菁优网

2013年2月24日