2013届高考数学压轴题练习18

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高考数学压轴题练习18

x2y221. (本小题满分12分) 已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1,F2，A为椭圆短

ab轴的一个顶点，且?AF1F2是直角三角形，椭圆上任一点P到左焦点F1的距离的最大值为2?1 （1）求椭圆C的方程；

（2）与两坐标轴都不垂直的直线l：y?kx?m(m?0)交椭圆C于E,F两点，且以线段EF为直径的圆恒过坐标原点，当?OEF面积的最大值时，求直线l的方程.

21.（1）由题意

c2，a?c?2?1————————2分 ?a2a?2,c?1，则b?1——————3分

x2所以椭圆的方程为?y2?1————————————4分

2?x2??y2?1（2）设E(x1,y1),F(x2,y2)，?2，联立得(1?2k2)x2?4mkx?2m2?2?0

?y?kx?m??4mk?x?x?12?1?2k2?22??8(2k?1?m)?0，?，——————————————————5分 2?xx?2m?212?1?2k2?又以线段EF为直径的圆恒过坐标原点，所以OE?OF?0

即x1x2?y1y2?0，代入得m2?22(k?1)————————————7分 3(2?2k2)(1?4k2)(1?2k)228(1?2k2?m2)1122?S?d|EF|=1?k332(1?2k2)22设t?1?2k?1，则S?-----9分

211211922?2??2??(?)2??当t?2，即t?1?2k2?2,k??3t3t2422t时，面积S取得最大值

22，——————————11分又m?1，所以直线方程为y??x?1—————22

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—————————-12分