2011年石景山一模试题（理）答案(2)

所以

3?2t?5t?，解得t?4. 52所求圆的方程为(x?1)2?(y?2)2?5. ???9分 （Ⅲ）方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K，由平几知：ON则直线OM：y?2?OKOM.

t2x，直线FN：y??(x?1) ????11分 2tt?y?x,?4?2由?得xK?2.

2t?4?y??(x?1),?t?∴ ON2?xK4?t24t2t2?2?2?2. (1?)?xM(1?)?4t?444所以线段ON的长为定值2. ????13分 方法二：设N(x0,y0)，则 FN?(x0?1,y0)，OM?(2,t)，

MN?(x0?2,y0?t)，ON?(x0,y0).

∵ FN?OM，∴ 2(x0?1)?ty0?0.∴ 2x0?ty0?2. ?????11分 又∵ MN?ON，∴ x0(x0?2)?y0(y0?t)?0， ∴ x0?y0?2x0?ty0?2. ∴ ON?22x0?y0?2为定值. ?????13分

2220．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知an?f(an?1)，f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(n?2,3,4,???)，

得an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1) (n?2,3,4,???)． 由数列{an}是等差数列，得an?1?an?an?an?1(n?2,3,4,???)．

高三数学（理科）答案第6页（共8页）

所以，an?an?1?k(an?an?1)，(n?2,3,4,???)，

所以k?1． ??????4分 （Ⅱ）由b1?a2?a1?0，可得b2?a3?a2?f(a2)?f(a1)?k(a2?a1)?0.

且当n?2时，

bn?an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)?????kn?1(a2?a1)?0．

所以，当n?2时，

bna?af(an)?f(an?1) ?????7分 ?n?1n??k，

bn?1an?an?1an?an?1因此，数列{bn}是一个首项为b1，公比为k的等比数列． 所以 数列{bn}的通项公式是bn?b1kn?1?kn?1(n?N?)．????????8分

（Ⅲ）若{an}是等比数列，由（Ⅱ）知，bn?kn?1(a2?a1)(n?N?)，

b1?b2???bn?1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?an?a1(n?2)，

????????????????10分 an?a1?(b1?b2?????bn?1)．

当k?1时，an?a1?(a2?a1)(n?1)(n?2)． 上式对n?1也成立，所以，数列{an}的通项公式为：

an?a?(f(a)?a)(n?1)(n?N?)．

所以，当k?1时，数列{an}是以a为首项，f(a)?a为公差的等差数列． 所以，k?1． ??????????????????????????12分

1?kn?1(n?2)． 当k?1时，an?a1?(a2?a1)1?k上式对n?1也成立，

高三数学（理科）答案第7页（共8页）

1?kn?1f(a)?a(f(a)?a)kn?1?a??所以 an?a?(f(a)?a) 1?k1?k1?k所以 a?f(a)?a?0?f(a)?ka．

1?k所以 等式f(a)?ka对于任意实数a均成立．

所以 f(x)?kx(k?1)． ????????????????????14分

注：若有其它解法，请酌情给分．

高三数学（理科）答案第8页（共8页）