尺规作图知识归纳

考点名称：尺规作图

尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。

其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。 运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图的中基本作图： 作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角； 作线段的垂直平分线； 作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的垂线。 还有：

已知一角、一边做等腰三角形 已知两角、一边做三角形 已知一角、两边做三角形 依据公理：

还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。 注意：

保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。

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尺规作图方法：

任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法： ·通过两个已知点可作一直线。 ·已知圆心和半径可作一个圆。 ·若两已知直线相交，可求其交点。 ·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 ·若两已知圆相交，可求其交点。

【学习目标】

1．了解什么是尺规作图．

2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．

3．了解五种基本作图的理由．

4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程． 5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形． 6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．

【基础知识精讲】 1．尺规作图：

限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．

注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．

2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图． 3．基本作图共有五种：

(1)画一条线段等于已知线段． 如图24-4-1，已知线段DE．

求作：一条线段等于已知线段． 作法：①先画射线AB．

②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．

线段AC就是所要作的线段． (2)作一个角等于已知角． 如图24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射线O′A′；

②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D． ③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′． ④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′． ⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角． (3)作线段的垂直平分线． 如图24-4-3，已知线段AB．

求作：线段AB的垂直平分线．

作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

②作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点． (4)经过一点作已知直线的垂线．

a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．

已知：直线AB和AB上一点C， 求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：作平角ACB的平分线CF．

直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4． b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．

②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．

③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．

④作直线CF．

直线CF就是所求的垂线． 注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决． (5)平分已知角．

如图24-4-6，已知∠AOB．

求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．

②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．

③作射线OC．

OC就是所求的射线．

注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．

通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言： (1)过点×和点×画射线××，或画射线××． (2)在射线××上截取××＝××． (3)以点×为圆心，××为半径画弧．

(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．

(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×． (6)在射线××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××．

注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．

如：(1)画线段××＝××． (2)画∠×××＝∠×××．

(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线． (4)过点×画××⊥××，垂足为点×． (5)作线段××的垂直平分线××，等等． 但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．

【经典例题精讲】

例1 已知两边及其夹角，求作三角形． 如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，

求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b． ③连结BC．

如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．

注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．