近世代数10套试题(4)

3、设G是交换群，e是G的单位元，n是正整数，H?{a|a?G,an?e},问：H是否是G的子群？为什么？

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）

1、证明：整数环Z中由34和15生成的理想（34，15）就是Z本身。

2、设G和H是两个群，eG和eH分别是G和H的单位元，f是群G到H的满同态映射，

B是H的子群，证明：A?{a|a?G,f(a)?B}是G的子群。

3、设S是环(R,?,?,0,1)的子环，N是R的理想且S?N?{0}，证明：剩余类环R环与S同构。

N有子

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《近世代数》试卷9

一、填空题（每空2分，共20分）

1、设G=(a)是15阶循环群，则G的子群的个数为_________. 2、整数加群Z是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____. 3、4次对称群S4的阶是___，在S4中，(134)(12)=_______,(1324)是______.

4、在剩余类环Z18中，[11]+[8]=_______,[5][6]=_______.

5、整数环Z上的一元多项式环Z[x]中的理想_______不是一个主理想. 6、_______是整数环Z的一个商域. 二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）一个阶是13的群只有两个子群。 2、（ ）交换群的子群是不变子群。 3、（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群。 4、（ ）无零因子环的特征不可能是2007。 5、（ ）群G的指数是2的子群一定是不变子群。 6、（ ）模15的剩余类环Z15是域。

7、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。 8、（ ）除环的中心是域。 9、（ ）欧氏环一定是主理想整环。 10、（ ）无零因子环的同态象无零因子。

三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）

1、设H?{(1),(13)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是

?1=_______,元素(1234)的阶

S3的不变子群？为什么？

2、求模18的剩余类环Z18的所有理想。

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3、在整数环Z中，求由2007和5生成的理想（2007，5）。

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）

1、设～是整数环Z上的模5同余关系，试证明：～是Z上的一个等价关系并写出这个等价关系所决定的等价类。

2、设R1,R2都是环，f是环R1到R2的满同态映射，B是R2的理想，试证明：

A?{a|a?R1,f(a)?B}是R1的理想。

3、证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。

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《近世代数》试卷10

一、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分） 1、（ ）若A,B都是群G的子群，则A?B也是G的子群。 2、（ ）交换群的子群是循环群。 3、（ ）循环群的同态象是循环群。 4、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。 5、（ ）有单位元且满足消去律的有限半群是群。 6、（ ）存在特征是1005的无零因子环。 7、（ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。 8、（ ）域是主理想整环。 9、（ ）模2007的剩余类环Z2007是域。

10、（ ）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 二、填空题（每空2分，共20分）

1、设G=(a)是10阶循环群，则G的子群的个数为_________. 2、在5次对称群S5中，(13)(125)?_____,(15423)?1?______.

3、设有集合A和B，|A|=2,|B|=3,则共可定义____个从A到B的映射，其中有_____个单射，_____个满射，______个双射。

4、模6的剩余类环Z6的全部零因子是___________.

5、设R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想且I?R，则R的一个_______.

6、在多项式环Z11[x]中，([6]x?[2])11?__________。 三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）

I是域当且仅当I是R),(132)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H1、设H?{(1),(123是否是S3的不变子群？为什么？

2、求模18的剩余类环Z18的所有理想。

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3、设H是群G的子群，对a,b?G，定义a～b?ba?H，试问：～是否是G上的等价关系？为什么？

四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）

1、证明：在整数环Z中由26和33生成的理想（26，33）就是Z本身。

2、设G1,G2是两个群，f是群G1到G2的满同态映射，B是G2的子群，试证明：

?1A?{a|a?G1,f(a)?B}是G1的子群。

3、设S是环(R,?,?,0,1)的子环，N是R的理想且S?N?{0}，证明：剩余类环R环与S同构。

N有子

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