七年级数学第3届“希望杯”第2试试题(2)

与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于 6662

-6622

=(666+662)(666-662)=1328×4=5312．

3．由于x3

+y3

=1000，且x2

y-xy2

=-496，因此要把(x3

-y3

)+(4xy2

-2x2

y)-2(xy2

-y3

)分组、凑项表示为含x3

+y3

及x2

y-xy2

的形式，以便代入求值，为此有

(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=1992．

4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，

下，只能是b=1．于是a=-1．

所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2． 5．设这堆核桃共x个．依题意

我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即

目标是求m的最小正整数值．

可知，必须20|x即x=20，40，60，80，……

6

m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．

由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，

即9≤a＜12．

可被第三个整除，应有b|a+c．

∴b≥2，但b|2，只能是b=2．

于是c=1，a=3．因此a3

+b3

+c3

=33

+23

+13

=27+8+1=36． 8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以 a2

+b2

+c2

-ab-bc-ca

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得3p=65+x+y．

要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21． 所以3p=65+x+y≤65+21=86．

所以p取最大整数值应为28．

事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立． 所以p的最大值是28．

7

10．设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元． 则依题意列得关系式如下：

③×2-④式得

x1+x2+x3+x4+x5=2×1992-2984=1000． 所以购买每种教具各一件共需1000元． 三、解答题

1．解①（逻辑推理解）

我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y． 则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45． 由被11整除的判别法知 x-y=0，11，22，33或44．

但x+y与x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33． 于是有

但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17．

987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行。为此调整最后四位数码，排成987652413即为所求． 解②（观察计算法）

987654321被11除余5．因此，987654316是被11整除而最接近987654321的九位数．但

8

987654316并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少数字2，多数字6．于是我们由987654316开始，每次减去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的九位数为止．其过程是

987654316→987654305→987654294→987654283 →987654272→987654261→987654250→987654239 →987654228→987654217→987654206→987654195 →987654184→……→987652435→987652424 →987652413．

这其间要减去173次11，最后得出一个恰由九个数码组成的九位数987652413，为所求，其最大性是显见的，这个方法虽然操作173次，但算量不繁，尚属解决本题的一种可行途径，有一位参赛学生用到了此法，所以我们整理出来供大家参考．

2．(1)答：由于428571=3×142857，所以428571是一个“希望数”．

说明：一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅读理解定义的能力，并能举例说明被定义的对象存在．在一位数、二位数、三位数中找不到“希望数”．而在四位数中很容易找到实例．

如：3105=3×1035，所以3105是个“希望数”； 或：7425=3×2475，所以7425是个“希望数”； 或：857142=3×285714，所以857142是个“希望数”；

以下我们再列举几个同学们举的例子供参考，如： 37124568=3×12374856 43721586=3×14573862 692307=3×230769 461538=3×153846 705213=3×235071 8579142=3×2859714 594712368=3×198237456 37421568=3×12473856 341172=3×113724．

9

可见37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，341172都是希望数，事实上用3105是希望数，可知31053105也是“希望数”，只要这样排下去，可以排出无穷多个“希望数”．因此，“希望数”有无穷多个．

(2)由a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和． 由a=3p和a为3的倍数．

因此a被9整除．

于是a是27的倍数．

这样就证明了，“希望数”一定能被27整除． 现已知a，b都是“希望数”，所以a，b都是27的倍数． 即a=27n1，b=27n2（n1，n2为正整数）． 所以ab=(27n1)(27n2) =(27×27)(n1×n2) =729n1n2．

所以ab一定是729的倍数．

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