第一章 集合与函数概念知识点(3)

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破

重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式

重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数f(x)满足f(2x?1)?4x?6x?5，求f(x) 方法一：换元法

令2x?1?t(t?R)，则x?22t?1t?12t?1)?6??5?t2?5t?9(t?R) ，从而f(t)?4(222所以f(x)?x?5x?9(x?R) 方法二：配凑法

因为f(2x?1)?4x?6x?5??(2x?1)?10x?4?(2x?1)?5(2x?1)?9 所以f(x)?x?5x?9(x?R) 方法三：待定系数法

因为f(x)是二次函数，故可设f(x)?ax?bx?c，从而由f(2x?1)?4x?6x?5可

2求出a?1、b??5、c?9，所以f(x)?x?5x?9(x?R)

222222（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 问题2：已知函数f(x)满足f(x)?2f()?3x，求f(x) 因为f(x)?2f()?3x??①

1x1x

9

111代x得f()?2f(x)?3???② xxx12由①②联立消去f()得f(x)??x(x?0)

xx以

8．设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(?x?2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式。 [解析] f(x)?228x?x?1；设f(x)=ax2+bx+c， 77?b??2 2a由f(x)满足f(x－2)=f(－x－2)，可得函数y=f(x)的对称轴为x=－2，所以由y=f(x)图象在y轴上的截距为1，可得f(0)?1，即c=1 由y=f(x) 图象在x轴上截得的线段长为2，可得

bc|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?(?)2?4?2

aa2??b2ca???(?)?4?27aa??8??所以联立方程组?c?1，可解得?b?

7???b?c?1???2???2a?所以f(x)=

228x?x?1. 77第4讲 函数的单调性与最值

★知识梳理

函数的单调性定义：

设函数y?f(x)的定义域为A，区间I?A

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y?f(x)的单调增区间

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说y?f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y?f(x)的单调减区间

如果用导数的语言来，那就是：

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