2016届上海市嘉定区高三一模数学（文科）试题及答案(2)

（2）如图④，当??60?时，设上液面为BF，因为?CBD?arctan3?60?， 2所以点F在线段AD上， ????????????????（1分） 此时?ABF?30?，AF?AB?tan30??103，

S?ABF?1?AB?AF?1503（cm2）， ??????????（3分） 23剩余溶液的体积为1503?20?30003（cm）， ???????（4分） 由题意，原来溶液的体积为8000cm，

因为8000?30003?3000，所以倒出的溶液不满3000cm． ??（5分）

3所以，要倒出不少于3000cm的溶液，当??60?时，不能实现要求．?（6分）

33

20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．

（1）f(x)?m?n?23sinxcosx?sin2x?cos2x?3sin2x?cos2x

??????2sin?2x??． ??????????????（3分）

6??所以f(x)的最小正周期是T??． ?????????（4分） 由2k???2?2x??6?2k???2，k?Z， ????????（6分）

得函数f(x)的单调递增区间是?k?????6,k????（k?Z）． ??（7分） ?3?（2）由f(C)?2，得sin?2C?因为0?C??，所以?所以2C???????1， ??????????（1分） 6??6?2C??6?11?， 6?6??2，C??3． ????????????（3分）

222在△ABC中，由余弦定理c?a?b?2abcosC， ????（4分）

222得3?a?b?ab?(a?b)?3ab，即ab?2， ??????（5分）

所以△ABC的面积S?1133absinC??2??． ????（7分） 2222

21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．

（1）解法一：函数f(x)?k?ax?a?x的定义域为R，因为f(x)是奇函数，所以

f(0)?k?1?0，k?1．??????????????????????（3分）

当k?1时，f(x)?ax?a?x，f(?x)?a?x?ax??f(x)，f(x)是奇函数． 所以，所求k的值为1． ??????????????????????（6分） 解法二：函数f(x)?k?ax?a?x的定义域为R，

由题意，对任意x?R，f(?x)??f(x)， ?????????????（2分） 即k?a?x?ax?a?x?k?ax，(k?1)(ax?a?x)?0， ?????????（4分）

?x因为a?ax?0，所以，k?1． ?????????????????（6分）

（2）由（1），f(x)?ax?a?x，任取x1，x2?R，且x1?x2，

1??)?(ax2?a?x2)?(ax1?ax2)?1?x1?x2?，

?a?1xx因为a?1，x1?x2，所以a1?a2?0，又1?x1?x2?0，所以f(x1)?f(x2)?0，

a即f(x1)?f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数． ??????（4分）

则f(x1)?f(x2)?(a1?ax?x1（注：也可以这样解答：a?1，y?a在R上是增函数，y?ax?x?1????在R上是减函?a?x数，则y??a?x在R上是增函数，所以f(x)?ax?a?x在R上是增函数．）

由f(x2)?f(2x?1)?0，得f(x2)??f(2x?1)，即f(x2)?f(1?2x)， ??（6分） 所以x?1?2x，即x?2x?1?0，解得x?(?1?2,?1?2)． ????（8分）

22

22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分． （1）由题意，?p??1，p?2， ??????????????????（2分） 2故抛物线方程为x2?4y． ??????????????????????（4分） （2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l:y?kx?t，则

?y?kx?t,?x1?x2?4k,2 ??????????（2分） ?x?4kx?4t?0??2??x1x2??4t.?x?4y于是，OA?OB?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?kt(x1?x2)?t2?t?4t， ??（4分） 因为点T(0,t)是定点，所以t是定值，所以OA?OB是定值，此定值为t?4t．?（6分）

2222????x0x0???x,TB?x,?1（3）T(0,1)，设B?，则?04??04?，

????22??x0x0 AT??TB????x0,??4????，故A(??x0,1?????4)， ??????（2分）

??2??4x02x??因为点A在抛物线x?4y上，所以?x?4?，得．??（4分） 1?????0???4??222022??x0x0又T为抛物线的焦点，故f(?)?|AB|?yA?yB?2???1?????4???4?2

?????1??2，即f(?)???1??2（??0）． ????????????（6分）

23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．

（1）z2?(1?i)(3?4i)??1?7i，z3??8?6i，z4??14?2i．????（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）

（2）由已知zn?1?(1?i)?zn，得zn?(1?i)n?1?z1， ??????（1分） 当n?4k?1时，(1?i)n?1?(1?i)4k?(?4)k， ?????????（3分） 令??(?4)，则zn???z1，

k??????????即则存在非零实数??(?4)（k?N），使得OZn??OZ1． ????（5分）

k**所以，当n?4k?1（k?N）时，OZn∥OZ1． ????????（6分）

（3）因为zn?4?(1?i)4zn??4zn，故xn?4??4xn，yn?4??4yn， ????（2分） 所以xn?4yn?4?16xnyn， ??????????????????????（3分） 又x1y1?12，x2y2??7，x3y3??48，x4y4?28， ??????????（4分）

x1y1?x2y2?x3y3???x100y100?(x1y1?x2y2?x3y3?x4y4)?(x5y5?x6y6?x7y7?x8y8)???(x97y97?x98y98?x99y99?x100y100)

1?1625?(12?7?48?28)??1?2100， ??????????????（7分）

1?16100所以数列{xnyn}的前100项之和为1?2． ??????????????（8分）