玉林师院近世代数2009级期末考试试卷(2)

若|c+d√2i|^2=0，c^2+2d^2=0，=> c,d都为零因子与c+d√2i为零因子矛盾。 所以R没有零因子

又因为数关于乘法满足交换律 ∴综上所述，R是整环

（2）设a+b√(2)i是R的单位，则找到c+d√(2)i使得 （a+b√(2)i）（c+d√(2)i）=1 |a+b√(2)i|^2乘以|c+d√(2)i|^2=1 又∵a,ba,c,d都是整数

(a^2)+2(b^2)=1 =>a=+1,-1,b=0 ∴R的单位是+1，-1.

（3）2-√2i的相伴元是2-√2i和-2+√2i （4）c^2+2d^2=3或c^2+2d^2=1 若c^2+2d^2=1时，c+d√2i为单位

若c^2+2d^2=3时，a^2+2b^2=1，即a+b√2i为单位 ∴c+d√2i=（1+√2i）（a+b√2i） ∴c+d√2i是相伴元 ∴1+√2i只有平凡因子 ∴1+√2i是不可约元

3、（9分）在二阶矩阵构成的环(Z^2*2)（运算为矩阵的加法与乘法，矩阵中元素为整数）中，令S=｛（0 2a 0 0）|a∈Z｝， 证明：（1）S是Z^2*2的子环；

（2）映射ψ（a）=[0 2a 0 0](a∈Z),是整数加群Z到加群S的同构映射。

证明：（1）显然（0 2 0 0）∈S，∴S不空

任取S1=（0 2a1 0 0）,S2=(0 2a2 0 0)∈S, S1-S2=(0 2a1-2a2 0 0)∈S,S1*S2=(0 0 0 0)∈S 故S是******的子环

（2）任意的a,b∈Z,有ψ（a+b）=[0 2(a+b) 0 0]=[0 2a 0 0]+[0 2b 0 0]= ψ（a）+ψ（b）

又∵任意的a,b∈Z，若ψ（a）=ψ（b）,即[0 2a 0 0]=[0 2b 0 0 ],则有a=b ∴ψ是单射

又任意的A∈S都存在a∈Z，使得A=（0 2a 0 0），其中a∈Z ∴ψ是满射 ∴ψ是双射

综上所述映射ψ（a）=[0 2a 0 0](a∈Z),是整数加群Z到加群S的同构映射

注：由于本人电脑没有公式编辑器，所以遇到矩阵打不出来，写法是按照平时习惯，m行n列，所以做题时你把它弄成正确的再做吧。