高三数学寒假作业专题10向量的含义及其应用（学）

高三数学寒假作业 专题10 向量的含义及其应用（学）

学一学------基础知识结论 1.向量的有关概念

（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模. （2）零向量：长度为零的向量，其方向是任意的. （3）单位向量：长度等于1的向量.

（4）平行向量：方向相同或相反的零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的加法与减法 向量运算 加法 定义 求两个向量的和的运算 法则（或几何意义） 三角形a+bba运算律 则： 交换律：a?b?b?a. 结合律： 法(a?b)?c?a?(b?c) 平行四边形法则：ba+ba 减法 向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a?(?b)?a?b. a?b?a?(?b) ba-ba 三角形法则 3.向量的运算及其几何意义 （1）定义：实数?与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作?a，它的长度与方向规定如

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下：

4.共线向量定理

向量a（a?0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数?，使b??a. 5.平面向量基本定理

平面任一向量可以由不共线的两个向量表示. 6.平面向量的数量积

（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则数量积记作a?b，即向量与任何一向量的数量积为0，即0?a?0. （2）几何意义：数量积a?b等于a的长度7.平面向量的性质及其坐标表示 设向量

a?b?a?bcos?.规定零

a与b在a的方向上投影的长度的乘积.

a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，?为向量a与b的夹角.

a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

?a?(?x1,?y1)，

（2）向量共线：

a?x12?y12. ab?x1y2?x2y1

a?b?0?x1x2?y1y2?0.

（3）向量垂直的充分条件：a?b即（4）

a?b?ab22?x1x2?y1y2?x12?y12?x2?y2ba（当且仅当时等号成立）. 8.向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：

ab?a??b(b?0)?x1y2?x2y1?0

(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：

a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

2

cos??a?ba?b?x1x2?y1y222x12?y12?x2?y2(3)求夹角问题，利用夹角公式：

9.向量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考察向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，出了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识. 10.向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关只是来解答，坐标的运算是考察的主体. 学一学------方法规律技巧 三个重要结论

若a与b不共线，?a??b?0，则????0.

已知OA??OB??OC.(?,?为常数)，则A,B,C三点共线的充要条件是????1. 平面的基底中一定不含零向量. 两个结论

两个向量a与b的夹角为锐角，则有a?b?0?反之不成立（因为夹角为0时不成立） 两个向量a与b的夹角为钝角，则有a?b?0，反之不成立（因为夹角为?时不成立）.

一个手段

实现一个平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算. 两条主线

向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. 要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.

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