2013中考压轴题选讲专题4：三角形四边形存在性问题（排版+答案）

www. zgjhjy.com

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编

专题4：三角形四边形存在性问题

授课教师：黄立宗

典型例题

例题1：（2012黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．

(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

2

- 1 -细节决定未来- 1 -

www. zgjhjy.com

例题2：（2012湖北鄂州）已知：如图一，抛物线y?ax2?bx?c与x轴正半轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，直线y?x?2经过A、C两点，且AB=2. （1）求抛物线的解析式；

（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线 段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P 运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设s?t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。

（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由。

ED?OPED?OP，当

- 2 -细节决定未来- 2 -

www. zgjhjy.com

例题3：（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物 线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段 AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1） 中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求 点P的坐标；若不存在，请说明理由．

- 3 -细节决定未来- 3 -

www. zgjhjy.com

巩固练习：

1、（2012福建三明12分）已知直线y=2x?5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=?x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图①，当点M与点A重合时，求：

①抛物线的解析式；（4分）

②点N的坐标和线段MN的长；（4分）

（2）抛物线y=?x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在， 直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

- 4 -细节决定未来- 4 -

www. zgjhjy.com

2、（2012黑龙江牡丹江10分）如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x－12x＋32=0的两根，且OA>OB．请解答下列问题：

（1）求直线AB的解析式； （2）若P为AB上一点，且

APPB?132

；，求过点P的反比例函数的解析式；

（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形? 若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

- 5 -细节决定未来- 5 -