例谈线段和的最小值问题的解法

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例谈线段和的最小值问题的解法

作者：曾晖

来源：《新校园·中旬刊》2015年第06期

在初三中考总复习中，我们常见到这样的题型：

1.如图1，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？

2.如图2，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？

这就是我们所说的几条线段和的最小值问题。今天，我们将结合几个典型的例题，用三个不同的模型，从三个方面谈一谈线段和的最小值问题的基本解题思想，总结切实可行的解题方法，以期帮助初三学生提高复习的效率。

模型一：两定一动型。解题原理：两点之间，线段最短。

说明：在一条直线的同侧有两个定点，在直线上找一个动点P，使点P到另两点的距离之和最短。

例1：如图3，在直角坐标系中，点A的坐标是（2，4），点B的坐标是（6，2），在y轴和x轴上找两点P、Q，使得A，B，P，Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出P、Q两点的坐标。

思路分析：分别作点A关于Y轴的对称点A′，点B关于X轴的对称点B′，连接A′B′，分别交Y轴于P′，交X轴于点Q′，点P′、Q′即为所求。

模型二：一定两动型。解题原理：直线外一点到直线的所有距离中，垂线段最短。 说明：在一条直线的同侧有一个定点，一个动点，在直线上找一个动点P，使点P到另两点的距离之和最短。

例2：如图4，在锐角三角形ABC中，AB=4，∠CAB=45°，AD平分∠CAB，M、N分别是AD、AB上的动点，试求MN+MB的最小值。

思路分析：在AC上截取AE=AN，连接BE.∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），