数列与级数的关系

数列与级数的关系

数列（上册p.9）与级数（下册p.1）是决然不同的概念，但它们有着紧密的联系。 首先，任何一个数列

??ann?N?? 均可构造一个与其敛散性完全一样的级数

这是因为：此级数的前 n 项和 Sn?an；其次，任何一个级数 a1???an?1?an? ，

n?1?un?1?n

也可用其前 n 项和 Sn 构造一个与其敛散性完全一样的数列 Snn?N? ，因为级数

???un?1?n 的收敛就是用其前 n 项和 Sn??uk?1nk 有极限 limSn 来定义的（下册p.2）。

n??由此可见，我们可以视具体情况选用数列工具或级数工具研究数列或级数。 例．证明：若 a1?2 ，an?1?2an ，n?1,2,? ，则数列 ?an? 收敛，并

求其极限。（上册p.77：第14题）

解法1：先用数学归纳法证明：?n?N?，an?2。 当 n?1 时，a1?2?2。假设：当 n?k 时有 ak?2；当 n?k?1 时：

ak?1?2ak?2?2?2 。

因此，?n?N?，an?2 ，即：数列 ?an? 有上界。

an?1?an?2an?an?an? 2?an?0 ，由此得出：数列 ?an? 严格单增。

?这样，数列 ?an? 有极限 liman?a 。

n??递推式 an?1?2an 两端取极限 n?? ，即得等式 a?2a ，解这个关于 a的方程，得到解 a?2 （另一解 a?0 不合题意，舍去）。故 liman?2 。

n??解法2：先用数学归纳法证明：?n?N?，1.4?an?2。 当 n?1 时，a1?当 n?k?1 时：ak?1?显然有 1.4?a1?2 。假设：当 n?k 时有 1.4?ak?2；2 ，

2ak ， 2.8?ak?1?2ak?2?2?4 。

1.4?2（ 1.4?1.96 ）因此，?n?N?，1.4?an?2 。

1

由此即得： an?1?an?考察正项级数 a1?2an?an?n?1an?数列 ?an? 严格单增。 2?an?0 ，

???an?1??an? ：

an?1?an?an?an?12an?an22an?an??22an2an?anan?2??22 ， ?2an?anan?1?an由 an?1.4 有

an?1?an225????1 。

an?an?1an?1?an1.4?1.47由达朗贝尔判别法（下册p.20）得出：级数 a1???an?1?n?1?an? 收敛，故：极限

n??liman?a 存在。（求 a 的方法同解法1）

2