04电子科大高等数学竞赛试题与解答

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???密???封???线???以???内???答???题???无???效??

电子科技大学2004年高等数学竞赛试题参考解答

一、选择题（40分）

1. 下列命题中正确的命题有几个？ ?????????????????????????????（ A ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.

(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 2. 设

?1, x?0f(x)???0, x?0f(x)?g(x)1??xsin, x?0，g(x)??x?1 , x?0? 则x?0是间断点的函数是 ??????????????（ B ）

； (D)

min?f(x), g(x)?

(A) ； (B)

f(x)?g(x)； (C) max?f(x), g(x)?..

3. 设?为f(x)?arctanx在[ 0, b]上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 lim b?0?b22 ? ???????（ C ）

(A) 1； (B)

12 ； (C)

13 ； (D)

14.

x04. 设f(x) , g(x)连续，当x?0时，f(x)与g(x)为等价无穷小，令F(x)?10?f(x?t)dt，

G(x)??x g(xt) dt, 则当x?0时，F(x) 是 G(x)的 ?????????????????? （ D ） (B) 低阶无穷小；

(C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.

f(x,y)?f(0,0)x?1?xsiny?cosy22x?0y?0(A) 高阶无穷小；

5. 设f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续，且满足 lim ??3

则f(x,y)在点(0,0)处 ??????????????????????????????? （ A ） (A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.

6. 设f(x)在(??,??)连续，且导函数y?f?(x)的图形如图所示，则f(x)有??????????? （ D ）

(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点； (B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点； (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点； (D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.

7. 设f有连续的一阶导数，则

13?(1,2)(0,0)f(x?y)dx?f(x?y)dy? ?? ?????????????? （ B ）

(A) 2?0f(x) dx；

?(B) ?0f(x) dx； (C)

f(3)?f(0)； (D) 0 .

?8. 设任意项级数

?an条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为?bn, 将其中的负项保留正

n?1???n?1项改为0所组成的级数记为?cn，则?bn与?cn ???? ????????????????（ B ）

n?1n?1n?1(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散；

(C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.

9. 设 n阶矩阵A的伴随矩阵 A??O，且非齐次线性方程组 A x?? 有两个不同的解向量?1 , ?2，则下列命题正确的是 ??????????????????????????????????????（ D ）

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???密???封???线???以???内???答???题???无???效??

(A) ?????也是A x??的解； (C) 满足A??E?0的数?必不为零；

(B) A x??的通鲜为x?k1?1?k2?2 （k1,k2?R）； (D) ????? 是A x?0的基础解系.

?1:a1x?b1y?c1z?d1?a1??b1??c1??d1?10. 设?1??a2? ,?2??b2? ,?3??c2? ,?4??d2? ,则三个平面 ?2:a2x?b2y?c2z?d2

????????????????3:a3x?b3y?c3z?d3abc?3??3??3??d3??两两相交成三条平行直线的充要条件是 ?????????????????????????（ C ）

(A) 秩r(?1,?2,?3)?1, r(?1,?2,?3,?4)?2; (B) 秩r(?1,?2,?3)?2, r(?1,?2,?3,?4)?3; (C) ?1,?2,?3中任意两个均线性无关，且?4不能由?1,?2,?3线性表出; (D) ?1,?2,?3线性相关，且?4不能由?1,?2,?3线性表出. 二、(10分）设f(x)在区间(??,??)连续，F(x)?12a

?x?ax?af(t) dt (a>0), G(x)??x0f(t) dt,

试解答下列问题：（1）用G(x)表示F(x)；（2）求F?(x)；（3）求证：lim F(x)??f(x)；

a?0（4）设f(x)在?x?a,x?a?内的最大值和最小值分别是M、m,求证：F(x)?f(x)?M?m.

解（1）F(x)?（2）F?(x)?12a12a?x?ax?af(t)dt?12a[?x?a0f(t)dt??x?a0f(t)dt]?12a[G(x?a)?G(x?a)]

[G'(x?a)?G'(x?a)]?G(x?a)?G(x?a)2a12a[f(x?a)?f(x?a)]

[G(x?a)?G(x)]?[G(x)?G(x?a)]2a（3）limF(x)?lima?0a?0?lima?0

?12[G'(x)?G'(x)]?G'(x)?f(x)

1（4）|F(x)?f(x)|?|2ax?a?|f(?)?f(x)|?M?m?x?af(t)dt?f(x)|?|[(x?a)?(x?a)]f(?)?f(x)| 2a(x?a???x?a)

1三、（10分）求曲线 lnx ? lny ?1 所围成的平面图形的面积. ?xy?e,?1?y?x,?e[解1]去掉绝对值曲线为：??y?ex,?1?xy?,e?A?x?1且y?1,x?1且0?y?10?x?1且y?10?x?1且0?y?11e

?1(ex?e11ex)dx??e1(ex?xe)dx?e?u

v[解2]令lnx?u,lny?v,则x?e,y?e,D?:|u|?|v|?1,J?xuyu1?uu?1vxvyv?eu0ev0?e?euv.

??dxdy?D??|J|dudv?D???e?edudv?D?uv?0?1edu?uu?1?u?1edv?v?10edu?uedv?e?1e.

四、（10分）设曲面S为曲线

?z?ey??x?0 (1?y?2) 绕z轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分

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???密???封???线???以???内???答???题???无???效??

I???4zx dydz?2z dzdx?(1?zS2) dxdy

[解1]S的方程为z?eee2x?y22(1?x?y?4)

22补两平面S1:z?e(x2?y2?1,下侧)S2:z?e2(x2?y2?4,上侧)

???S?S1?S2?2???zdV?2?Vzdz2??D(z)d??2??ee2zlnzdz?225?2e?24?2e2

2??4zxdydz?2zdzdx?(1?z)dxdy????(1?e)dxdy??(1?e)????(e?1)；

S1Dxy???S2??(1?e)dxdy?4?(1?e);Dxy44I????S?S1?S2???????S1S25?2e???2e??(e?1)?4?(1?e)

22??????e?432D2?e?3?

[解2]I????(4zx,?2z,1?z??eD2x?y222)?(zx,zy,?1)dxdy

2yx?y22????2r4x222?x?y??1?dxdy?????dxdyD???2?0d?4?21e(4rcos??2sin??1)rdr??(4?1)2

1322五、（10分）设n阶矩阵 A=(?1,?2,?,?n?1,?n)的前n?1 个列向量线性相关, 后n?1 个列向量线性无关,

???1??2????n; （1）证明线性方程组A x??有无穷多解；（2）求方程组A x??的通解.

?e?3?e?3?2(D:1?x?y?4)22解（1）??1,?2,?,?n?1相关，??1,?2,?,?n?1,?n相关；??2,?3,?,?n无关，??1,?2,?,?n的秩为

n?1，且?1可以由?2,?,?n表出；又由已知?可由?1,?,?n表出，故?1,?,?n,?与?1,?,?n等价，

从而?1,?2,?,?n,?的秩为n?1，?对于方程组Ax?(?1,?,?n)X??，增广矩阵A的秩与A的秩相等，即R(A)?R(A)?n?1?n，故Ax??有无穷多解. （2）??1,?,?n?1相关，??不全为0的数k1,k2?，使k1?2???kn??,,nk?1?0，即1n?1?k1?????0?n?0??(?,?,?,n?)??112?kn?1???0????Tk1?1???kn??1n?0A(k1,?,kn?1,0)T?0?，又R(A?)?n 1?Ax?0的基础解系只含一个解向量?(k1,?,kn?1,0)为Ax?0的基础解系；

又?1??2?? ??n?1???TT???(?1,?,?n)??????A(1,?,1)???(1,1,?,1)为Ax??的解，

?1???故Ax??的通解为x = C(k1,?,kn?1,0)T?(1,1,?,1)T(C为任意常数)

六、（10分）设 n (n?4)阶矩阵的4个不同特征值为?1, ?2, ?3, ?4 , 其对应的特征向量依次为?1, ?2, ?3, ?4，

23记???1??2??3??4, 求证：?, A ?, A?, A? 线性无关.

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