福建省光泽第一中学2014高中数学教师论文 规避导数学习中的错误

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福建省光泽第一中学2014高中数学教师论文 规避导数学习中的错误

导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带。导数的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。而在导数学习的过程中，学生却经常犯以下几点错误： 一、导数为零的点是极值点

例1．函数f?x??x?ax?bx?a在x?1处有极值10，求a,b的值．

322?3?2a?b?0?221?a?b?a?10，解????fx?3x?2ax?b????f1?0f1?10? 错解由题意得，且，即

?a?3?a??4??b??3b?11． 得?或? 分析：

f??x0??0x?x0x是可导函数y?f?x?在处有极值的必要不充分条件．只有加上在0x?x0处取得极值。因此上述解法在解出a,b的值后，还应

附近导数的符号相反，才能判定在

3232????fx?x?3x?3x?9fx?x?4x?11x?16分别在x?1附近导数符号的变化检验和

情况．经检验只有a??4,b?11符合条件． 二、极值点只在导数为零时 例2．求函数

f?x??x2?x?6的极值．

2??x?x?6,x??2或x?3f?x???2???x?x?6,?2?x?3，于是 错解：由于

?2x?1,x??2或x?3?f??x????2x?1,?2?x?3?不存在,x??2或x?3?

1111x?.?2?x?x??x?3??2当22时，f??x??0；令f?x??0，得当2时，f?x??0．所以当25时，函数有极大值4．

x? 分析：在确定极值时，只讨论满足f?x??0的点0附近导数的符号变化情况是不全面的，

在导数不存在的点处也可能存在极值．在上述解法中，显然忽视了讨论x??2和x?3处左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了丢根现象．正确的结果还应包括在x??2和x?3处函数取

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到极小值0．

三、单调性判断中易忽视特殊情况

32??fx??x?ax?x?1在R上是减函数，求实数a的取值范围． 例3．已知函数

2???fx??3x?2ax?1因为f?x?在R上是减函数，所以f??x??0在R上恒成立， 错解：

2即△?4a?12?0解得?3?a?3，所以a的取值范围为?3?a?3．

? 分析：f?x??0恒成立的充要条件并不是f?x?在R上是减函数．事实上，

? 当a?3时，f?x???3x?1，则：

??3?3????x????,x?,??????3?3???fx?0???时，f??x??0． 当时，； 当

而函数f?x?在

??2x?33处连续，因此f?x?在R上是减函数．同理可知当a??3时，f?x?3．

在R上是减函数，所以a的取值范围为?3?a? 四、误用求导法则 例4．

y?lnxy??1x的导数是_______．

错解：．

分析：应分情况求导．

（i）当x?0时，

y??11?1y??y???ln??x???x；x x．故（ii）当x?0时，

???y?sin2?2x??3?的导数． ? 例5．求

????2???y?sinuu?2sinu?u?4sin2x???u?2x?2y?sinu3? ?3，则 错解：设，

??? 正解：设

y?u2，

u?sinvv?2x?，

?3，

则

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y??u2???????u?sinv?v?2x??3???x???????4ucosv?4sin?2x??cos?2x??3??3? ? 五、求曲线的切线方程时审题不细

32??fx?x?3x?2x过原点的切线方程． 例6．求曲线

?? 错解：f?x??3x?6x?2，设切线的斜率为k，则k?f?0??2，所以所求曲线切线方

2程为y?2x．

分析：“过某点”与“在某点处”是不同的，在某点处的切线表明此点是切点,而过某点的切

线，此点并不一定是切点．

2???fx?3x?6x?2，设切线的斜率为k． 正解：

?（i）当切点是原点时，k?f?0??2，所以所求曲线的切线方程为y?2x．

32?y0?x0?3x0?2x0x0,y0?ii（）当切点不是原点时，设切点是，则有，

k?y02?x0?3x0?2x03k?y0??1x0?2k?f??x0??3x0?6x0?242，x0①，又②，由①、②得，

1y??x4． 故所求曲线的切线方程为

例7．考察y?3x2在点?0,0?处的切线． ?2?32?x?333x，显然在x?0处的导数不存在，所以曲线在该点处没

1y?? 错解：有切线．

?x?32?分析：x?0处的导数不存在，这说明曲线在点?0,0?处的切线斜率趋于无穷大，倾斜角为2，

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