求极限13种方法(2)

式之积，等价无穷小也不适用，此时可以考虑用泰勒公式。

x3x33nx??o(x3) 解 当x?0时，由于arctanx?x??o(x),arcsxi?36tanx?sinx?tanx(1?cosx)~13x 2x3x313[x??o(x)]?[x??o(x3)]?x3?o(x3)36故 原式=lim?lim2??1 x?0x?01313xx22十一、利用定积分的定义求极限

由定积分的定义知，如果f(x)在?a，b?上可积，那么，我们可以对?a，b?用特殊的分割方法（如n等分），并在每一个子区间特殊地取点（如取每个子区间的左端点或右端点），所得积分和的极限仍是f(x)在

?a，b?上的定积分。所以，如果遇到某些求和式极限的问题，能够将

其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限。这里关键在于根据所给和式确定被积函数和积分区间。

2?(n?1)????sin)

nnn1?2?(n?1)?)看，若选被积函数为sin?x,解 从和式(sin?sin???sinnnnn1n?1当n??时分别趋于0与1，故积分区间为?0，1?. 则因分点与nn1将?0，1?等分，则有?xi?,从而有：

n11?2?(n?1)?121(sin?sin???sin)=?sin?xdx???cos?x?o? 原式=lim0n??nnnn??(sin例11、求极限limn??1n?sin?十二、利用级数收敛的必要条件求极限

级数具有以下性质：

un?0。所以对于某些极限limf(n),可以将函若级数?un收敛，则limn??n??n?1?数f(n)作为级数?f(n)的一般项，只需证明级数?f(n)收敛，便有

n?1n?1??6 / 7

limf(n),=0.

n??nn例12、求极限lim2

n??(n!)?nn解 令un?,对于正项级数un,有 ?(n!)2n?1un?1(n?1)n?1(n!)2(n?1)n1n1e lim?lim??lim?lim(1?)?lim?0 nnn??un??((n?1)!)2n??n??n??nn?1n?1n(n?1)nn?un?1 lim?0?1,由比值审敛法知，级数?un收敛。n??un?1nnn故lim2=0 n??(n!)十三、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和。此时常常可以辅助性地构造一个函数在某点的值。

(1??例13、求极限limn???233n???) 2n?133分析 若构造幂级数?nxn?1，则所求极限恰好是此级数的和函数在

n?1x?1处的值。 3?解 考虑幂级数?nxn?1，

n?1由于 lim设s(x)=

an?1n?1 ?lim?1,故当x?（-1，1）时，该级数收敛。n??an??nn?nxn?1?n?1,于是

x1)'?, x?(?1,1), 21?x(1?x)?s(3)?9 47 / 7

s(x)= (?xn)'?(n?1? 从而 原式=?n?1?n3n?1