2010届高三数学数列知识点复习：数列的通项的求法

数列通项的求法

一、复习目标：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法，培养和提高转化、分析问题和解决问题的能力。

二、重难点：1.重点：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法.

2.难点：由数列递推关系式的特点，选择合适的方法.

三、教学方法：讲练结合，探析归纳，强化运用。 四、教学过程 （一）、知识梳理，方法定位 数列通项的常用方法：

⑴利用观察法求数列的通项.

（?S1n?1)⑵利用公式法求数列的通项：①an??；

S?S(n?2)n?1?n②?an?等差、等比数列?an?公式.

⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①an?1?an?f(n)；②an?1?anf(n). （4）构造等差、等比数列求通项：

① an?1?pan?q；②an?1?pan?qn；③an?1?pan?f(n)；④an?2?p?an?1?q?an. （二）热点考点题型探析

考点 求数列的通项公式 题型1 利用公式法求通项

【例1】已知Sn为数列?an?的前n项和，求下列数列?an?的通项公式： ⑴ Sn?2n2?3n?1； ⑵Sn?2n?1.

【解析】⑴当n?1时，a1?S1?2?12?3?1?1?4，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2n2?3n?1)?2(n?1)2?3(n?1)?1?4n?1.

???4(n?1)而n?1时，4?1?1?5?a1，?an??.

4n?1(n?2)?⑵

当

n?1时，

a1?S1?2?1?3，当

n?2时，

an?Sn?Sn?1?(2n?1)?(2n?1?1)?2n?1.

而n?1时，21?1?3(n?1). ?1?a1，?an??n?12(n?2)?【反思归纳】任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an???S1(n?1)?Sn?Sn?1(n?2)

若a1适合an，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项

【例2】⑴已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，求数列?an?的通项公式； ⑵已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?1，Sn?n2?an，求数列?an?的通项公式. 【解析】⑴（迭加法）

?a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，?an?an?1?2n?1 ?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

?(2n?1)?(2n?3)?(2n?5)???5?3?1?n(2n?1?1)?n2

2⑵?a1?1，Sn?n2?an，?当n?2时，Sn?1?(n?1)2?an?1

?an?Sn?Sn?1?n2an?(n?1)2an?1?ann?1. ?an?1n?1?an?n?1n?2n?3212anan?1an?2aa???????1?. ?????3?2?a1?n?1nn?143n(n?1)an?1an?2an?3a2a1【反思归纳】⑴迭加法适用于求递推关系形如“an?1?an?f(n)”； 迭乘法适用于求递推关系形如“an?1?an?f(n)“；⑵迭加法、迭乘法公式：

① an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1 ② an?anan?1an?2aa?????3?2?a1. an?1an?2an?3a2a1题型3 构造等比数列求通项

【例3】已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3，求数列?an?的通项公式. 【解析】?an?1?2an?3，?an?1?3?2(an?3)

??an?3?是以2为公比的等比数列，其首项为a1?3?4 ?an?3?4?2n?1?an?2n?1?3.

【反思归纳】递推关系形如“an?1?pan?q” 适用于待定系数法或特征根法： ①令an?1???p(an??)；

② 在an?1?pan?q中令an?1?an?x?x?q，?an?1?x?p(an?x)； 1?p③由an?1?pan?q得an?pan?1?q，?an?1?an?p(an?an?1). 【例4】已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3n，求数列?an?的通项公式. 【解析】?an?1?2an?3n，?an?1anan3n??()?bn ，令2n2n?122n?1n则 bn?1?bn?()， ?bn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)???(b2?b1)?b1 n?1n?2?()n?3???()2? ?()?()323232323233?1?2?()n?2 22?an?3n?2n

【反思归纳】递推关系形如“an?1?pan?qn”通过适当变形可转化为： “an?1?pan?q”或“an?1?an?f(n)n求解.

【例5】已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?3an?1?2an，求数列?an?的通项公式. 【解析】令an?2???an?1??(an?1???an) 由??????3????1????2或?，?an?2?an?1?2(an?1?an) ???????2??2??1????数列?an?1?an?是等比数列，?an?1?an?2n?1

?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

?2n?2?2n?3?2n?4???2?1?1?2n?1.

【反思归纳】递推关系形如“an?2?p?an?1?q?an”，通过适当变形转化为可求和的数列. （三）、强化巩固练习

1、已知Sn为数列?an?的前n项和， Sn?3an?2(n?N?,n?2)，求数列?an?的通项公式.

【解析】当n?1时，a1?S1?3a1?2?a1??1，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?(3an?2)?(3an?1?2).?2an?3an?1?an3? an?12

??an?是以

33n?1为公比的等比数列，其首项为a1??1，?an??1?(). 222、已知数列?an?中，a1?2,(n?2)an?1?(n?1)an?0(n?N?)，求数列?an?的通项公式.

【解析】由(n?2)an?1?(n?1)an?0得，

an?1n?1 ?ann?2?an?nn?1n?2324anan?1an?2aa???????2?. ?????3?2?a1?n?1nn?143n?1an?1an?2an?3a2a1（四）、小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①an?1?an?f(n)；②an?1?anf(n).（4）构造等差、等比数列求通项：

；②an?1?pan?qn；③a?pa?qn?1n①

an?1?pan?f(n)；④an?2?p?an?1?q?an.

五）、作业布置：复资P101页2、3、4

课外练习：1、数列?an?中，a1?1,an?n(an?1?an)，则数列?an?的通项an?【解析】D a1?1,an?n(an?1?an)?

。

an?1n?1,使用迭乘法，得an?n. ?ann802、数列?an?中，an?1?3an?2(n?N?),且a10?8，则a4? 。 ?

81223、、设?an?是首项为1的正项数列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0(n?N?)，

则数列?an?的通项an? . 【解析】an?1n22an)?0 (n?1)an?1?nan?an?1an?0?(an?1?an)(an?1?nn?14、数列?an?中，a1?1,an?1?2an(n?N?)，则?an?的通项an? . 2?an【解析】an?5、（08

22an111 由an?1?，得?? 2n?12?anan?1an2全国Ⅱ卷理?节选）设数列?an?的前

n项和为Sn，已知

a1?a,an?1?Sn?3n(n?N?)，设bn?Sn?3n，求数列?bn?的通项公式．

【解析】依题意，an?1?Sn?1?Sn?Sn?3n，即Sn?1?2Sn?3n， 由此得Sn?1?3n?1?2(Sn?3n)， ? bn?Sn?3n?(a?3)?2n?1. 五、教学反思：