3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式组

3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域

课堂探究

二元一次不等式表示的平面区域的判定方法

剖析：方法一：第一步，直线定边界，画出直线Ax＋By＋C＝0，当不等式中含有等号时，直线画成实线，否则画成虚线．

第二步，特殊点定平面区域，在坐标平面内取一个特殊点，当C≠0时，常取原点(0，0)．若原点满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当C＝0时，可考虑把点(1，0)或(0，1)作为测试点．

口诀如下：直线定界，特殊点定域．

方法二：Ax＋By＋C>0，当B>0时表示区域为直线上方区域；B<0时为直线下方区域．

Ax＋By＋C<0，当B>0时表示区域为直线下方区域，当B<0时为直线上方区域．概括为

“B”与“不等号”同向在“上方”，“B”与“不等号”反向在“下方”．

平面内任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧、异侧的充要条件： 由于直线同一侧的点的坐标(x，y)使Ax＋By＋C具有相同的符号，且一侧为正，另一侧必为负，因而直线同一侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相同，直线不同侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相反，因而我们有以下的结论：

P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0； P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0异侧?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0．

题型一 二元一次不等式表示平面区域

【例1】 在平面直角坐标系中画出下列二元一次不等式表示的平面区域． (1)x－y＋1>0； (2)x＋2y－4≤0．

分析：本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，先画出直线，再用特殊点确定不等式表示的平面区域．

解：(1)画出直线l1：x－y＋1＝0(虚线)，

取原点O(0，0)代入x－y＋1，得1>0，不等式成立．

所以O(0，0)在x－y＋1>0表示的平面区域内，故x－y＋1>0表示的平面区域就是直线

l1右下方的区域．

画出区域如图(1)所示的阴影部分(不包括直线l1上的点)． (2)画出直线l2：x＋2y－4＝0(实线)．

取原点O(0，0)代入x＋2y－4，得－4<0，不等式成立．

所以x＋2y－4≤0表示的平面区域是直线l2及其左下方的区域． 画出区域如图(2)所示的阴影部分(包括直线l2上的点)．

反思 由于二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的平面区域一定是直线

Ax＋By＋C＝0的某一侧．要断定究竟是哪一侧，可以取直线Ax＋By＋C＝0某侧的一点，将

它的坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是该不等式表示的平面区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧就是该不等式表示的平面区域．如果直线不通过原点，一般取原点(0，0)来进行判断．

题型二 二元一次不等式组表示平面区域

【例2】 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域．

分析：此不等式为二元二次不等式，看似无从下手，注意到不等号右边为0，左边为两因式乘积，易联想到利用“两数相乘，异号得负”的法则，将其转化为两个二元一次不等式组．

??x＋2y＋1≥0，

解：此不等式可转化为?

??x－y＋4≤0

??x＋2y＋1≤0，

或???x－y＋4≥0.

分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．

反思 (1)画平面区域时作图要尽量准确，特别是画边界；(2)非二元一次不等式表示的平面区域问题往往等价转化为二元一次不等式(组)表示的平面区域问题．

题型三 根据平面区域写出不等式(组)

【例3】 将下面图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来．

分析：观察图形，先写出边界直线，并确定虚实，然后写出不等式．

解：(1)易知直线方程为x＝－1，图中阴影部分的点的横坐标都小于－1，故不等式为x≤－1．

xy1

(2)由截距式得直线方程为＋＝1，即y＝－x＋1．

212

11

因为0<－×0＋1，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式y<－x＋1，即x＋

222y－2<0表示．

(3)易知直线斜率为1，过点(1，0)，其方程为y＝x－1．

因为0>0－1且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式y>x－1，即x－y－1<0表示． 反思 根据平面区域写二元一次不等式的方法与步骤．

第一步：确定直线方程，根据平面区域(阴影部分)的边界与两坐标轴的交点确定直线方程；

第二步：在阴影部分中取特殊点确定不等号的方向，写出对应平面区域的二元一次不等式．

题型四 求平面区域内的整点坐标

x>0，??

【例4】 不等式组?y>0，

??4x＋3y<12

数的点)共有________个．

表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整

解析：画出不等式组表示的平面区域，如图所示(阴影部分，不含x轴和y轴)．

从图形可以看出区域内点的横坐标在区间(0，3)内，取x=1，2，当x=1时，区域内的整点有(1，1)，(1，2)．当x=2时，区域内的整点有(2，1)．共3个．

答案：3

反思 求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标常有两种方法：①先确定区域内横坐标的范围，确定x的所有整数值，通过x的值再确定y相应的整数值；②网格法求整点，此法关键是作图要准确．

题型五 易错辨析

x≥0，??y≥0，

【例5】 画出不等式组?2x＋y－6≥0，

??x＋2y－6≤0

错解：如图所示的阴影部分．

表示的平面区域．

错因分析：不等式2x＋y－6≥0表示的平面区域是直线2x＋y－6＝0及其右上方的部分，将(0，0)代入2x＋y－6，得－6<0，所以原点不在不等式表示的平面区域内．

正解：如图所示的阴影部分．