2014年湖南师范大学实变函数招收硕士研究生入学考试大纲考研大纲

2014年硕士研究生入学考试自命题考试大纲

考试科目代码：[] 考试科目名称：实变函数

一、考试形式与试卷结构

1)试卷成绩及考试时间：

本试卷满分为100分，考试时间为180分钟。 2)答题方式：闭卷、笔试 3)试卷内容结构

（一）测度论与可测函数部分 40% （二）Lebesgue积分与不定积分部分 60% 4)题型结构

a: 计算题，2小题，每小题11分，共22分 b: 证明题，6小题，每小题13分，共78分

二、考试内容与考试要求 （一）测度论与可测函数部分 1、n维欧式空间中的点集

考试内容：开集、闭集的构造、分离定理 考试要求：

? 要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理。 ? 要求考生理解Cantor集。 ? 要求考生熟练掌握分离定理。 2、测度论

考试内容：Lebesgue 外测度，可测集、可测集类 考试要求：

? 测度的定义和性质；

? 掌握Lebesgue 外测度和测度的定义和基本性质；

? 练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质。

? 掌握零测集的性质；开集、闭集的可测性； ? 了解特殊的两类集合，波雷耳集。 3、可测函数

考试内容：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛

考试要求：

? 熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的概念； ? 理解叶果洛夫定理；

? 理解并掌握鲁津定理及其逆定理；

? 熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例，Riese定理和Lebesgue收敛定理

（二）Lebesgue积分与不定积分部分 1、Lebesgue积分的概念与性质

考试内容：勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的极限定理 考试要求：

? 理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件；可积的四则运算， 勒贝格积分与Riemann积分的关系；

? 熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性； ? 熟练掌握一般可积函数的L积分的定义和初等性质。

? 牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L 逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。 2、微分和不定积分

考试内容：有界变差函数、绝对连续函数 考试要求：

? 熟练掌握有界变差的定义，理解Lebesgue定理；

? 充分理解绝对连续函数，并理解绝对连续函数与不定积分的关系。

三、参考书目

[1] 江泽坚等编《实变函数论》（第3版），高等教育出版社，2007年第3版 .

[2] 程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2003年第2版 .