复变函数练习题习题3.3

习题3.3

1．计算下列积分，其中积分闭路取正向.

dz3（1）|z??z?1 1|?1解：

dz1/(z?z?1)??dz3?z?1|z?1|?1z?1|z?1|?11 ?2?i2z?z?1z?1 2 ??i3

dz44（4）|z? z(z?2)|?1解：

2 1

dz1/(z?2)??dz444?z(z?2)|z|?1z|z|?1???2?i?1? ?4??3!?(z?2)?z?0?i?120 ??7 3(0?2)5?i ?16

4sinzdz4n?1（6）|z? (z?i)|?2解：

sinzdz2?i(4n)?sinz??4n?1?z?i(z?i)(4n)!|z|?22?i ?sinzz?i(4n)!2?i ?sini(4n)! ?2? ?sh1(4n)!

2

dz4?（8）|z|?3(z?1)(z?2)(z?16)

21解：被积函数(z?1)(z?2)(z4?16)有6个奇点，

只有z?1在圆|z|?3/2的内部，于是函数

14|z|?3/2在闭圆域上解析，则由(z?2)(z?16)Cauchy积分公式得

|z|?dz?3(z?1)(z?2)(z4?16)?2|z|?1/(z?2)(z?16)dz?3z?1241 ?2?i4(z?2)(z?16)z?1 2?i ?51

3

4.用Cauchy积分公式计算函数f(z)?e/z沿正向圆周|z|?1的积分值，然后利用圆周|z|?1的参数方程z?e(??????)证明下面积分

i?z??0ecos?cos(sin?)d???.

z（1）解：函数f(z)?e/z的奇点z?0在积分

z|z|?1e路径的内部，而函数在闭区域|z|?1上解

析，于是由Cauchy积分公式得

ezdz?2?ie?2?i.?|z|?1z z?0（2）证明：圆周|z|?1的参数方程为

zz?e(??????)，在它上有z?(?)?ie,于是

i?i? 4

i??eiee2?i??dz??d?i?|z|?1z??e?cos??isin? ??eid?z??ei? ??e?????cos?[cos(sin?)?isin(sin?)]id?sin(sin?)?iecos? ??[?e????cos?cos(sin?)]d?cos?

???ecos?sin(sin?)d??i?e???cos(sin?)d?比较等式两边的虚部得

??e??cos?cos(sin?)d??2?

又

?e??????0?cos? ??e?0??0cos(sin?)d?cos(sin?)d???ecos?cos(sin?)d?0cos??cos(sin(??))d(??)??ecos(sin?)d???e??? ???ecos(sin?)d???ecos(sin?)d?????? ??ecos(sin?)d???ecos(sin?)d??? ?2?ecos(sin?)d?0coscos0coscos00cos0cos(??)?cos?

所以

5