动态最值问题 - 圆内最值问题

“一师一优课”

《动态最值问题——圆内最值问题》教学设计

西安爱知中学 郭晏铖

【学情分析】

在运动变化中求最值的问题灵活性较强，涉及的知识面较广，对学生思维能力要求较高，经常令学生束手无策。因此如何正确快速的求解成为学生学习中的难点。本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,以及点和圆、直线和圆的位置关系。四班的同学在年级中属中等偏上水平，对于基本知识的学习掌握的较快，但缺乏应用的灵活性。与圆有关的最值问题可以变零散的知识为学生整体的认识，变重复枯燥的学习为新奇有趣的探索，在训练学生逻辑思维的同时，还能培养学生的探索能力 【教学方法】

对于圆中求最值问题,学生经常感到无从下手，处理此类题目首先要明确题目中运动的对象，然后就是根据按照题目要求作出运动过程中某一时刻的图象。现在学生普遍欠缺作图能力，因此我在题目的设置上也遵循由易到难的原则，从给出图形到简单作图再到复杂作图，让学生在这个过程中体会作图的重要性。

任何运动变化问题中总隐含着定量和不变关系，这也是解决这类问题的关键。在设计时我也注重设计情境，引导学生自己挖掘题目中的信息，找到这些关键点。从例1中的定量过渡到不变的位置关系再到不变的数量关系，剥茧抽丝，层层递进，从而体会探究的乐趣。

运动变化问题中还有一点就是要关注如何根据已学的知识证明最值位置的存在性及合理性，这一点最容易被忽略，学生往往凭感觉得出结果，并不知其所以然。所以我在设置例题时也关注到了这一点，力求使每道例题的解题依据都不尽相同，从而引发学生对问题本质的思考，同时注重对所学知识中有关不等关系的定理的应用。

通过本节课的教学，让学生充分体会动与静的结合，挖掘、探索题目中变量、定量以及它们之间的关系，运用所学的知识求解。本节课既是对前面所学知识的一个综合运用，又是对学生逻辑思维能力的一个重要提升。对于程度较好的同学来说，找到解决运动变化问题的突破口是解决动态综合问题的基础，可以为后续的学习做好铺垫。 【教学目标】

1. 通过学生充分经历读题、画图、分析、理解的数学过程，寻找运动变化问题中的定量及不变的数量关系和位置关系，培养动手操作能力和空间想象能力，提高解决此类问题的信心和能力。

2．理解从一般到特殊，再从特殊到一般的解题过程，选取运动变化过程中的静止状态入手进行研究，以静制动，动中求静，找到问题的切入点，进一步探究定量和变量之间的联系、一般状态和特殊状态之间的联系，从而利用所学知识解决问题。

【教学重点】分析变化的过程，透过现象抓住问题的本质，转化为所学知识解决问题。 【教学难点】1、按照题目要求作出运动过程中某一时刻的图形并对其进行分析； 2、挖掘、探索题目中不变的数量关系和位置关系。 【教学过程】 导入：

问题1：如图1，已知⊙O的半径为r，PO=m，在⊙O上找一点Q.PQ的最大值是 ，最小值为 .

问题2：如图2，已知⊙O的半径为r，在⊙O上找一点Q.PQ的最大值是 ，最小值为 .

问题3：如图3，已知⊙O的半径为r，PO=m，在⊙O上找一点Q.PQ的最大值是 ，最小值为 .

PPPOOO

图1 图2 图3

例：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°<θ<180°），得到△A1B1C,如图，设AC中点为E，A1B1中点为P，AC=a，连接EP，当θ= °时，EP长度最大，最大值为 . 分析：连接CP，则P点运动轨迹如图所示， 则：CP?11AB?A1B1?a 223EP?CP?CE?a，如图所

2示。

练习1：如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是 .

分析：由翻折可得，AM?DM?A'M?1，

因此可以看做：A'在以M为圆心，1为半径的圆上。如图所示。连接MC.

A'C?MC?A'M

过M作MG⊥CD，在Rt△MDG中，MG⊥CD， ∠MDG=60°，MD=1 则GD=

31,GM=

2235,GM?

22?CG??MC?7

?A'C?7?1（如图所示）

练习2：如图，在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 1，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值为 .

yD

A

C

OBx

分析：取AB中点P

如图所示，OC?OP?PC?1?2

练习3：如图，Rt△ABC,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值为 .

分析： ??PBC??PBA?90o,?PBC??PAB

??PAB??ABP?90o

o??APB?90

说明P点在以AB为直径圆上，如图所示

CP?OC?OP?5?2?3 即：CP的最小值为3

课堂小结：通过圆内的最值我们容易发现，都会伴随着过圆心的直线，且都伴随着a?b?c?a?b，取等号的时候都是过圆心的情况。

（ 总结与圆有关的最值问题的解题思路，为今后解决综合问题打

好基础。） 【教学反思】

1、课堂的起点稍微有些高，对于内容的导入比较有梯度，对于背景的导入还需丰富； 2、课堂给予学生了充分思考和讨论的时间，学生利用实物投影对题目的分析也比较到位； 3、对学生的讲解点评到位。