2019中考数学一轮新优化复习 第一部分 第三章 函数 第15讲 二次(2)

解：(1)把A(－3,0)，C(0,4)代入y＝ax1??a＝－，6???c＝4，

2

??9a＋15a＋c＝0，

－5ax＋c，得?

?c＝4，?

解得

125

∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4.

66∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3，∴B(3,0)． ∵BD⊥x轴交抛物线于点D，∴D点的横坐标为3， 15

当x＝3时，y＝－×9＋×3＋4＝5，

66∴D点坐标为(3,5)．

(2)在Rt△OBC中，BC＝OB＋OC＝3＋4＝5，设M(0，m)，则CM＝BN＝4－m，CN＝5－(4－m)＝m＋1，∵∠MCN＝∠OCB，∴当＝时，△CMN∽△COB，

则∠CMN＝∠COB＝90°，即

4－mm＋1

＝， 45

2

2

2

2

CMCNCOCB1616

解得m＝，此时M点坐标为(0，)．

99当＝时，△CMN∽△CBO， 则∠CNM＝∠COB＝90°， 即

4－mm＋11111＝，解得m＝，此时M点坐标为(0，)． 5499

CMCNCBCO1611

综上所述，点M的坐标为(0，)或(0，)．

99(3)连接DN，AD，如答图，

∵AC＝BC，CO⊥AB， ∴OC平分∠ACB， ∴∠ACO＝∠BCO. ∵BD∥OC， ∴∠BCO＝∠DBC.

∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN， ∴△ACM≌△DBN，

6

∴AM＝DN，

∴AM＋AN＝DN＋AN，而DN＋AN≥AD(当且仅当点A，N，D共线时取等号)， ∴DN＋AN的最小值＝6＋5＝61， ∴AM＋AN的最小值为61.

8．(2018·玉林26题12分)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝－x＋bx＋c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA(O为坐标原点)．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点(包括端点)，其横坐标为m.

(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；

(2)当m为何值时，△MAB的面积S取得最小值和最大值？请说明理由； (3)求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．

2

2

2

解：(1)当y＝c时，有c＝－x＋bx＋c， 解得x1＝0，x2＝b，

∴点C的坐标为(0，c)，点P的坐标为(b，c)． ∵直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,3)， ∴OB＝3，OA＝1，BC＝c－3，CP＝b.

∵△PCB≌△BOA，∴BC＝OA，CP＝OB.∴b＝3，c＝4， ∴点P的坐标为(3,4)，抛物线的解析式为y＝－x＋3x＋4. (2)当y＝0时，有－x＋3x＋4＝0， 解得x1＝－1，x2＝4， ∴点F的坐标为(4,0)．

过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如答图1所示．

2

2

2

∵点M的横坐标为m(0≤m≤4)，

∴点M的坐标为(m，－m＋3m＋4)，点E的坐标为(m，－3m＋3)，

1121122

∴ME＝－m＋3m＋4－(－3m＋3)＝－m＋6m＋1，∴S＝OA·ME＝－m＋3m＋＝－(m2222

7

2

－3)＋5.

1

∵－＜0,0≤m≤4，

2

1

∴当m＝0时，S取最小值，最小值为；

2当m＝3时，S取最大值，最大值为5. (3)如答图2①当点M在线段OP上方时，

∵CP∥x轴，∴当点C，M重合时，∠MPO＝∠POA，

∴点M的坐标为(0,4)；

②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA.

设点D的坐标为(n,0)，则DO＝n，

2

DP＝n－

2＋－

2，

2522

∴n＝(n－3)＋16，解得n＝，

625

∴点D的坐标为(，0)．

6

设直线PD的解析式为y＝kx＋a(k≠0)， 25

将P(3,4)，D(，0)代入y＝kx＋a，得

63k＋a＝4，???25

k＋a＝0，??6

24

k＝－，??7解得?100

a＝??7.

∴直线PD的解析式为y＝－

24100

x＋. 77

联立直线PD及抛物线的解析式，得 24100?? y＝－x＋，77?

??y＝－x2＋3x＋4，

?? x1＝3，

解得?

?y1＝4，?

24

x＝，??7?124??y＝49.

22

24124

∴点M的坐标为(，)．

749

24124

综上所述：满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标为(0,4)或(，)．

749

8

9

10