排序不等式知能优化训练（Word版 含答案） 高中数学选修4-5 北师

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1．已知x≥y，M＝x＋y，N＝xy＋yx，则M与N的大小关系是( ) A．M>N B．M≥N C．M

2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P≥Q C．P

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解析：选B.不妨设a≥b≥c>0，∴a≥b≥c2>0. 由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a. ∴P≥Q.

3．已知两组数1,2,3和2,3,4，c1，c2，c3是1,2,3的任一排列，d1，d2，d3是2,3,4的任一排列，2c1＋3c2＋4c3的最大值为M，d1＋2d2＋3d3的最大值为N，则( ) A．M＝N B．M>N C．M

5．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花( ) A．6元 B．19元 C．25元 D．3元 解析：选B.由排序原理可知：

花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)．

－－

6．a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则a1b11＋a2b21

－

＋…＋anbn1的最小值是( ) A．1 B．n

2

C．n D．无法确定 解析：选B.设a1≥a2≥…≥an>0，

－－1－1

可知an1≥an－1≥…≥a1.

－－－

由排序原理，得a1b11＋a2b21＋…＋anbn1.

－－－

≥a1a11＋a2a21＋…＋anan1＝n.

b2c2＋c2a2＋a2b2

7．已知a，b，c为正数，P＝，Q＝abc，则P、Q的大小关系是( )

a＋b＋c

A．P>Q B．P≥Q C．P0，

111

则0<≤≤，0

abc

由排序原理：顺序和≥乱序和，得 bccaabbccaab＋＋≥＋＋， abccab2222

bc＋ca＋a2b2即≥a＋b＋c，

abc

∵a，b，c为正数，∴abc>0，a＋b＋c>0，

b2c2＋c2a2＋a2b2

于是≥abc，即P≥Q.

a＋b＋c

8．一组实数为a1，a2，a3，设c1，c2，c3是另一组数b1，b2，b3的任一排列，则a1c1＋a2c2＋a3c3的( )

A．最大值a1b1＋a2b2＋a3b3，最小值a1b3＋a2b2＋a3b1 B．最大值a1b2＋a2b3＋a3b1，最小值a1b3＋a2b1＋a3b2 C．最大值与最小值相等为a1b1＋a2b2＋a3b3 D．以上答案都不对

解析：选D.a1，a2，a3与b1，b2，b3的大小顺序不知，无法确定其最值．

－

9．等差数列1,2,3，…，n，等比数列1，a，a2，a3，…，an1(a>1)，设c1，c2，…，cn是等比数列的任一排列， 则c1＋2c2＋3c3＋…＋ncn的最大值为( ) 1－an1－anA. B.－nan 1－a1－a1－an1－annannC.－na D.－ ?1－a?2?1－a?21－a

－

解析：选D.最大值为S＝1＋2a＋3a2＋…＋nan1，用错位相减法求和，可得． 10．设a≥b>0，则a3＋b3与a2b＋ab2的大小关系是________． 解析：∵a≥b>0，∴a2≥b2>0，

因此a3＋b3≥a2b＋ab2.(排序不等式)． 答案：a3＋b3≥a2b＋ab2

11．已知a、b、c为正实数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)________0(填>，≥，<，≤)．

解析：设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，

根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，

所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. ∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab.

即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：≥

12．已知a，b，c∈(0，＋∞)．a≥b≥c，求证： a5b5c5111＋＋≥＋＋. b3c3c3a3a3b3abc

11

证明：∵a≥b>0，于是≤，

ab

111

∵c>0，∴>0，∴≥. cbcca

11

同理：b≥c>0，∴≤，

bc

1

∵a>0，∴>0. a

11111≥.∴≥≥. caabbccaab

于是由顺序和≥乱序和得 a5b5c5b5c5a5

＋＋≥＋＋ b3c3c3a3a3b3b3c3c3a3a3b3b2c2a2

＝3＋3＋3(因为a2≥b2≥c2， cab

111c2a2b2≥≥)≥＋＋ c3b3a3c3a3b3111111＝＋＋＝＋＋. cababc

13．在△ABC中，ha，hb，hc为边长a，b，c的高，

求证：asinA＋bsinB＋csinC≥ha＋hb＋hc. 证明：不妨设a>b>c，则对应的角A>B>C. A，B，C∈(0，π)， ∴sinA>sinB>sinC. 由排序原理得

asinA＋bsinB＋csinC≥asinB＋bsinC＋csinA.

在△ABC中，asinB＝hc，bsinC＝ha，csinA＝hb， ∴asinA＋bsinB＋csinC≥ha＋hb＋hc.