matlab在优化设计中的应用

优化原理

①绘图判断优化结果的正误：fplot(fun,[-1,2]);（fun为函数句柄）

1、MATLAB优化概述：

(1)目标函数的极值条件：

①多维函数的极值条件：

令梯度=0---如果该点二阶偏导数矩阵正定---改点为极小值； 必要条件：目标函数在改点梯度为0；

充分条件：在改点的hession矩阵正定，极小值点；负定，极大值点；

2、MATLAB线性规划：

见XianXing_GuiHua.m

(1)线性规划matlab步骤：

提取数学模型---化为matlab标准型---调用函数linprof进行优化； ①matlab标准型：

min f=c’x;Ax<=b,Aeqx=beq,lb<=x<=ub;

<1 如果对目标函数求最大值，应添加负号转化求最小值，约束条件也应化为matlab标准型；

<2 c,x,beq,lb,ub 均为列阵； (2)matlab函数调用：

x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub);x为最优解对应x的值，其他各项对应上述标准型；

[x,fval,exitflag,output]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：fval为目标函数最优解，exitflag为终止迭代的条件信息，output输出有关信息变量； <1 exitflag为1，表示函数收敛到解x；

<2 如果没有Ax<=b，只需令A=[],b=[]，对应等式约束也可如此; <3 lb,ub中可以出现无穷inf;

例：c=[-1 -1]';A=[1 -2;1 2];b=[4 8]';lb=[0 0]';ub=[inf

inf]';[x,fval,exitflag,output]=linprog(c,A,b,[],[],lb,ub)； (3)绝对值问题：

出现绝对值如min f=|x|+|y|+|z|;可设计非负变量x1,x2作如下替换： x1=(x+|x|)/2, x2=(|x|-x)/2;将目标函数和约束条件全部进行转化；

3、MATLAB非线性规划：

（约束或目标函数之一为非线性）； (1)一维最优化方法：

① 一维搜索法的matlab求解---fminbnd：

[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options);（fun为函数

句柄）

适用：min f(x) s.t.x1

<1 如果函数的最小值恰好在边界取得，fminbnd将返回该区间的一个内点，且与其端点的距离不超过2TolX;

<2 有时只能搜索到极小值，并非最小值，可绘图判断正误； <3 标记最值点：plot(x,fval,'r*'); 例：[x,fvla]=fminbnd(@fun,lb,ub)； (2)matlab求解无约束优化：

①无约束非线性优化函数fminunc:

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0,options); <1 x0为搜寻初值，可以为向量、标量、矩阵；grad为解在x处的梯度值；hessian为解在x处的hessian矩阵；

<2 fminunc可以设置options使用不同的算法对非线性规划问题进行求解； (3)fminsearch:

[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(fun,x0,options);

①fminunc最小化问题求解时，要求判断目标函数在优化变量处的梯度和hessian矩阵，仅适用目标函数连续的情况；

②fminsearch函数可以用来求解目标函数不可导问题，包括不连续、在最优解附近出现奇异等问题；

(4)求解多维约束优化fmincon：

①问题格式：min f(x);

c(x)<=0,ceq(x)=0;(非线性约束)

Ax<=b,Aeqx=beq,lb<=x<=ub;（线性约束）

②[x,fval,exitflag,output，lambda,grad,hessian] =fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) <1 lambda为各个约束所对应的拉格朗日乘子； <2 nonlcon中定义了非线性约束c(x),ceq(x)： function [c,ceq]=fun2(x) c=…;ceq=…;

例：[x,fval,exitflag]=fmincon(@fun,x0,A,b,[],[],[],[],@fun2)

4、MATLAB其他规划：

(1)二次规划问题quadprog：

该问题也可用fmincon函数解决（其更简单）；

①数学模型：min f(x)=1/2*x’*H*x+f’*x;(第一部分为二次型)

Ax<=b,Aeqx=beq,lb<=x<=ub;（线性约束）

②[x,fval,exitflag,output]

=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) (2)多目标规划问题：

①数学模型：min f1(x)；

min f2(x)；

c(x)<=0,ceq(x)=0;(非线性约束)

Ax<=b,Aeqx=beq,lb<=x<=ub;（线性约束）

②[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda]

=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) <1 attainflag为解x处的目标规划因子； <2 nolcon函数为编写的非线性约束函数： function [c,ceq]=mycon(x) c=…;ceq=…;

<3 goal为想要达到的目标函数值向量；weight为权重向量，一般取weight=abs(goal);