课时跟踪检测（十四） 导数与函数单调性(2)

又f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0， f(2)＝e2－2>0，当x>2时，f(x)>0， ∴当x>0时，函数f(x)的零点在(1,2)内， ∴k＝1满足条件；

1

f(0)＝－3<0，f(－1)＝－2<0，

e1

f(－2)＝2＋2>0，当x<－2时，f(x)>0，

e

∴当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内，∴k＝－2满足条件． 综上所述，k＝1或－2.

3．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1＋2mx21

f′(x)＝＋2mx＝. xx

当m≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当m<0时，由f′(x)＝0得x＝ 当x∈?0，

1－. 2m

－

1?

上单调递增； 2m?

??

1?时，f′(x)>0，f(x)在?0， －2m??

当x∈?

1??－，＋∞时，f′(x)<0，f(x)在 2m??1?－，＋∞上单调递减．

2m?

综上所述，当m≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当m<0时，f(x)在?0，

?

1?

上单调递增，在?－2m??1?－，＋∞上单调递减．

2m?

(2)依题意，设A(a，f(a))，B(b，f(b))，不妨设a>b>0， 则kAB＝

f?a?－f?b?

>1恒成立， a－b

即f(a)－f(b)>a－b恒成立， 即f(a)－a>f(b)－b恒成立， 令g(x)＝f(x)－x＝ln x＋mx2－x， 则g(x)在(0，＋∞)上为增函数，

2mx2－x＋11

所以g′(x)＝＋2mx－1＝≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，

xx所以2mx2－x＋1≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，

11?21111

－＋对x∈(0，＋∞)恒成立，因此m≥. 即2m≥－2＋＝－??x2?4xx81

，＋∞?. 故实数m的取值范围为??8?