（寒假总动员）高二数学寒假作业 专题13 导数在研究函数中的应用

专题13 导数在研究函数中的应用（一）

【测一测】 一．选择题

2

1．设函数f(x)＝＋lnx，则( )

x

11

A． x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点

22C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点

2．函数f（x）=x3﹣mx2+4x在[1，3]上是单调增函数，则实数m的取值范围是（ ） A. m?5 B.

m?1316m?3 C. m?4 D.3

2? 3. 已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），其导函数f(x)=x+2cosx且f（0）=0，则关于实数x的不等

式f（x﹣2）+f（x2﹣2x）＞0的解集为（ ） A. （0，1+【答案】D

【解析】

） B. （2，4）C. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D.（2，1+

）

1?试题分析：f(x)=x2+2cosx知f（x）=3x3+2sinx+c而f（0）=0，∴c=0，即f（x）=x3+2sinx易知，此

函数是奇函数，且在整个区间单调递增，因为f'（x）=x2+2cosx在x∈（0，2）恒大于0根据奇函数的性质

可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f（x﹣2）+f（x2﹣2x）＞0，f（x﹣2）＞﹣f（x2﹣2x），即：f（x

﹣2）＞f（2x﹣x2）∴

3??2?x?2?2?2??2?2x?x?2?x?2?2x?x2?，解得：x∈（2，1+）

4. 若函数f（x）=x+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. [﹣3，+∞） B. （﹣3，+∞） C. [0，+∞） D. （0，+∞）

2?5. 若函数f（x）的导函数f(x)=x﹣4x+3，则函数f（x+1）的单调递减区间是（ ）

A. （﹣∞，2） B. （﹣∞，1） C. （1，3） D. （0，2）

??6．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf(x)

＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是( )

11(?1,)(,2)2 C.2 D．(－2,1) A．(－1,2) B.

7题

? 7．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是( )

f(b)>f(c)>f(d)

B．f(b)>f(a)>f(e) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)

?8. 奇函数f（x）的定义域为（﹣1，1），且满足f(x)＜0，已知f（a﹣2）＜﹣f（2a﹣3），则a的取值范围

是（ ） A.

【答案】D 【解析】

B. （1，2） C.

D.

?试题分析：由f(x)＜0，得函数f（x）在定义域内为减函数，又f（x）为定义域为（﹣1，1）上的奇函数，

所以f（a﹣2）＜﹣f（2a﹣3）?f（a﹣2）＜f（﹣2a+3）?

??1?a?2?1???1??2a?3?1?a?2??2a?3?，解得．

?? 9. 定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f(x)为f（x）的导函数，已知函数y=f(x)的图象如右图

所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则

A.

【答案】C 【解析】

B. （

的取值范围是（ ）

） C. （，3） D. （3，+∞）

9题

10. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，则a2+b2的取值范围（ ） A.

B.

C.

D.

二、填空题 11．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是__________． 【答案】(－∞，－3)∪(6，＋∞) 【解析】

试题分析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0.所以m>6或m<－3. ln3ln5ln8

12. 若a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为________(用“>”连接)．

358【答案】a>b>c

【解析】

试题分析：构造函数y＝

1－lnxlnx

(x>0)，由y′＝，令y′＝0，x＝e，且当x∈(e，＋∞)时，y′<0，即函xx2

数在(e，＋∞)上为减函数，∵e<3<5<8，∴a>b>c.

13．下图是函数y＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断． ①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点；

③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x＝3是f(x)的极小值点．

其中，所有正确判断的序号是__________．

13题 【答案】②③

【解析】

试题分析：由函数y＝f(x)的导函数的图像可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．

14. 已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行．若f(x)在区间 [t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．

三．解答题

15. 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

答案：(1)a＝4，b＝4；(2)f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减，f(x)的极大值为4(1－e－2)．

解析：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.

16.已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间；

(2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

(3) 是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．