华南理工2001年数学分析答案解析

华南理工2001年数学分析考研试题解答

一．1.解 limx?0sinx1?xsinx?sinx22 cosx ?limx?0?1?xsinx?cosxsinxx221?xsinx?cosx?

? ?2limx?02xsinx?xcosx?sinx

2limx?01sinxx11?12??cosx243

?2limx?0.

2.证明 对0?2x?22， ，知 x221?1?由x?x??x???2?4?2?x??14，x?12，

1?1?1?1?2x?x??x?????2????22?4?2?4?1，

于是e4故有2e?e14x?x2?e2，?x???1??2?，

??n?n20ex?x2dx?2e2.

3.解 n!?，

lnn!?nlnn， ，

?1nlnn??1lnn!?n?21nlnn20发散，所以?n?21ln?n!?f发散.

24.解 ?f?x?1?dx??010?x?1?dx??11f?x?1?dx

??f?t?dt???10 ??t?11?e0f?t?dtetdt??1011?tdt ?ln?1?et?0?1?ln?1?t??110

? ??ln2?ln?1?e??ln2 ?.

2ln2?ln?1?en?15.解 由ee?1xx?x?1??n?1xn!，

??n?1xn?1n!?，

d?e?1????dx?x?x?n?1?n?1?xn!n?2，

显然它的收敛区间为???,???，

??nn?1?n?1?!??n?1??1?n?1!??n?1????n?11n!???1n?1?n?1?!

??e?1???e?2??1； 6.解 f?0,y??fx?0,0??0ysin21y，f?x,0??，

xsin21x，

，

fy?0,0??0当?x,y???0,0?时，

1x?y22fx?x,y??2xsin??x?y22?cos1x?y22?x??3?222??x?y???y??3?222??x?y????????????，

fy?x,y??2ysin1x?y22??x?y22?cos1x?y22，

当当

?x,y???0,0?limfx?x,y?不存在，fx?x,y?在?0,0?fy?x,y?不存在，fy?x,y?在?0,0????y??02处不连续， 处不连续，

?x,y???0,0?2lim当??x?时，

f??x,?y????f(0,0)???x?2fx?0,0??x?fy?0,0??y?????y?12

???x?2???y?sin2??x?2???y?2?0，

所以f?x,y?在点?0,0?处可微. 二．已有，简略。 三．证明 实际上u?ln?x?y22?，??arctanyx.

四．解 利用高斯公式，得

I???xzdydz?yzdzdx?zx?ydxdy22

?????z?z?Vx?y22?dxdydz

?rsin???rsin?dr2??2?0?d???40d??2aa2aa3?2rcos?

?2??40d??r?2cos??440?sin??sin?dr

?2?14[(2a)?a]?4?2cos??sin??sin?d??2?11?cos2???[(2a)?a]?4?2sin?cos???d?042??44?

?2?11?cos2???[(2a)?a]?4?2sin?cos???d?042??44?

?2?14[(2a)?a](44412?1?24?14)

?15(??2)?a16 。

x?yx?4y2五．解 设P?P?y2?22，P?Q?x?x?4yx?4y222，

2??x?8xy?4y?x2?4y2?2，

??x?8xy?4y?x2?4y2?2，?x,y???0,0?，

?P?y??Q?x，?x,y???0,0?，

:x?4y??222取?I??0充分小，C?，

?Pdx?Qdy

C ??C?Pdx?Qdy

?1?2??x?y?dx??x?4y?dy

C? ? ?1?2??2dxdy

D?1?2?2?????2??. 时，

13六．解 当?1?fx?0?x????1t?0xtdt??x?1t??t?dt???1?x?，

3当xf时，

x?x????1t?13tdt??0?1ttdt??x0ttdt

?显然yS??13x3，

??1，x?1，

?f?x?与x轴的交点为x3?0?113?1?x?dx??3?1?x?dx

3011 ? ?1323??1111144??0???1??????33434?111??322

.

xn七．证明 设un?x????1?x?，un?x??0，un?x?在?0,1?上连续，

2?u?x??x?1?x?在?0,1?上连续，

nn?1?根据狄尼定理，知?n?1un?x?在?0,1?上一致收敛.

利用几何平均-算数平均不等式，得

0?un?x??xn?1?x?2?n2n2n?2?n?2?11?n??4???4?22?n?2??n?2??n?2?n，

?由于?n?141?n?2?2收敛，

?所以?n?1un?x?在?0,1?上一致收敛.

八．简略

x??九．证明 证法一 limSn?x??limln?1???lnex?xn??n??n??limSn?x??xn??n，

在?0,a?上连续，

Sn?x?在?0,a?上连续，对每一个x??0,a?，?Sn?x??单调递增，

由狄尼定理，?Sn?x??在?0,a?上一致收敛.

证法二 由ln?1?z??z?12z?o?z222?，

2?x?x?1x??o?对0?x?a，有nln?1???x??n?2n??n?，

从而知?Sn?x??在?0,a?上一致收敛.

由于?n?supx??0,???Sn?x??Sn?n??nln2???，?n????，

故?Sn?x??在?0,???上不一致收敛. 十．简略.