线性代数14-15期末练习题(1)

练 习 三

一. 单项选择题

1.设A为三阶方阵且A??2，则AT?（ ）。

(A) ?8 (B) 8 (C) ?2 (D) 2

2. 设A为n阶方阵，且A?0，则（ ）。 (A) A列秩等于零 (B) A的秩等于零

(C) A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D) A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合

3.向量组?1,?2,...,?s,s?2线性无关的充要条件是（ ）。 (A) ?1,?2,...,?s均不是零向量 (B) ?1,?2,...,?s中任意两个向量都不成比例

(C) ?1,?2,...,?s中任意一个向量均不能由其余s?1个向量线性表示 (D) ?1,?2,...,?s中有一部分组线性无关

4. 设?是方程组Ax?b的解,?是导出组Ax?0的解,则2???是 ( ) 的解。

(A)Ax?0 (B) Ax?b (C)Ax??b (D)Ax?2b

5. n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是( )。

(A) A有n个互不相同的特征值 (B) A有n个互不相同的特征向量 (C) A有n个线性无关的特征向量 (D) A有n个两两正交的特征向量

二.填空题

41. 行列式D?1?1?326x中，元素x的代数余子式为__________。

0a22b2?a2?6，则

a1b1a2b2= 。

?22. 设行列式

a12b1?a13. 若A是三阶矩阵A的伴随矩阵，且A??2?1?，则?2A??3A?3.。

?5?2?4. 已知矩阵A??0??02210000210??0??1，则A的逆A? 。 1??1??15.设方阵A满足A?A?I?0，则(A?I)=_________。

6. 矩阵A8?10的秩为r?5，则齐次线性方程组AX?0的基础解系中解向量的个数为 。

?123???7. 已知矩阵A???1x2?相似于矩阵B，B有特征值1,2,3，则x为 。

?001???8. 设??2是可逆方阵A的一个特征值,则方阵A?2A必有一个特征值

2?1为 。

三.计算题

1.计算下列行列式

baa?11?20aba4?135(1) (2) n阶行列式 aab31?2?32051aaaaaa b?1?10??36?????2.设A??121，B?11，矩阵X满足AX?B 求A?1及X。 ?????223??2?3?????3.求出下列向量组的秩和它的一个极大无关组，并把其余的向量用这个极大无关组线性表示。

?1??1??1???3?????????1?12??3??1???，?2???，?3??， ?4???

?4???2??3?10???????????2??4???11??0??2x1?x2?x3?x4?1?4.当a取何值时，非齐次线性方程组?x1?2x2?x3?4x4?2有解？在有无穷多解的情

?x?7x?4x?11x?a234?1况下，利用基础解系表示出该方程组的全部解。

?211???5.已知矩阵A?101，试问: A是否与对角阵相似？如果能与对角阵相似，请求出???110???这个对角阵?和一个非奇异矩阵P，使PAP??。

?1四．证明题

已知向量组?1,?2,?3线性无关，证明向量组?1,?1??2,?1??2??3也线性无关。

练 习 四

一、单项选择题

1. 对任意n阶方阵A,B总有 ( )。

(A) (AB)2?A2B2 (B) AB?BA (C) (AB)T?ATBT (D) |A?B|?|A|?|B|

2. 设A,B,C是n阶矩阵，若能由AB?AC推出B?C，则必有（ ）。

(A)A?O (B) A?O (C) |A|?0 (D) |A|?0

3. 设矩阵Am?n，方程组Ax?0仅有零解的充要条件是( )。 (A) A的列向量组线性相关 (B) A的列向量组线性无关 (C) A的行向量组线性相关 (D) A的行向量组线性无关 4. n阶矩阵A具有n个不同特征值是A与对角矩阵相似的( )。 (A) 充分必要条件 (B) 充分但非必要条件 (C) 必要但非充分条件 (D) 即非充分也非必要条件

二. 填空题

1. 五阶行列式|aij|展开式中，项a41a12a23a34a55前应冠以 号（填正号或者负号）。

2. 已知2阶行列式

a1b1a2b2=m ,

b1c1b2c2=n ,则

b1b2a1?c1a2?c2= 。

?123???*?13.设A?012, 则(A)? 。

???001???4. 已知向量??(?,?3,6)T与??(1,5,??)正交,则??________。

T?111???5．已知r?201??2，则?? 。

?11?????x1?x2?x3?06. 齐次线性方程组?的基础解系所含解向量的个数为

2x?x?3x?023?1________________。

7. 已知四阶矩阵A有特征值2,3,4,5，则A?I?_________。

?100??，则A的特征值为________________________。

8. 已知A~B，且B??020???003???三. 计算题

1.计算下列行列式

1111(1)

100100

2?15130?130(2) n阶行列式

120103100100?14231?2

n?100n?11?1??1?11?????，

2.设A?21，矩阵X满足XA?B，求A?1及X。 B?1100?????221??1?11?????3.求出下列向量组的秩和它的一个极大无关组，并把其余的向量用这个极大无关组线性表

示。

?1??1???1??1?????????2?112?1???，?2???，?3???，?4???。

?3??2???2??3?????????64?8???????2?

?x?2x?3x?4123??4. 试问a取何值时，非齐次线性方程组?2x1?2x2?3x3?6有解，并在有解的情况下，

?2x2?ax3?2??利用基础解系表示出非齐次线性方程组的全部解。

?1?10???5.已知矩阵A??220，试问A是否与对角阵相似？如果能与对角阵相似，请求出???213???这个对角阵?和一个非奇异矩阵P，使PAP??。

?1四．证明题

若n阶矩阵P,Q都是正交矩阵，证明：PQ也是正交矩阵。