用典型归类复习排列组合中的重复问题

用典型归类复习排列组合中的重复问题

上传: 杨汉春 更新时间：2012-5-24 20:19:04

用典型归类复习排列组合中的重复问题

江西省新余市第三中学 杨汉春 （邮编：338000）

在高三数学总复习中，对排列组合的复习，教师觉得讲了很多，但学生在做题中仍是出现模糊现象，不能做到成竹在胸。这主要是与排列组合相关的问题变化多端，题型涉及现实生活面广，题目的隐藏面较深。使得学生对入手题目的思想方法难以把握，特别是对出现重复的问题，容易遗漏，防不胜防。因此，教师在复习这一章节时，本人认为不应泛讲，要进行典型归类，给学生一个万变不离其踪的思维主线，这样对学生才会有省时高效的效果。以下是本人对排列组合中重复问题专题复习的一点浅见。

一、运用数型结合的思想，借助图象，直观重复。

例一、太阳伞由八个区域组成，它由七种不同的颜色面料拼接而成的，若恰有相对一组用同一色的面料（如图中7号区域），则可以搭配成颜色排列顺序不同的伞面种数为多少？

1 2 3 4 5 6 7 7 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥

解析：先选相对区域的面料有

种，

再选其余6个区域面料有 种，故有 种。但如图所示的两种排列其实色彩顺序是一样的，原因是因为它是一个关于中心对称

的旋转图形。旋转180 °后图形与原来的图形重叠，故符合题意的搭配应有

/2 =2520（种）。

例二、给四棱锥p—abcd的顶点染色，要求同一条棱上的两点不能同色，求以下各有多少种染色方法。（1）现有4种不同的颜料；（2）现有5种不同颜料。

分析：解此题首先要明确以下三点:

? ?

黄色

四个顶点是命名了的；

点p与a、b、c、d不能同色，a、c可同色，b、d可同色，故至少需要用3种颜料；

b 蓝色 d 红色 a 黄色 b 蓝色 d 红色 c c a

③ a、b、c、d四点用3种颜料染色，当a、c为同一色，且b、d染色确定时，先染点a后染点c，与先染点c后染点a，效果是一样的。重复就在此出现。 如：

解：（1） 分类：一类选用4种颜料。先给p点染色，有 种方法；再用3种染料给a、b、c、d四点染色，有

/2种方法。二类选用3种颜料，有 种方法。所以共有 = 72（种）。

（2）分类：一类选5种颜料， 种；二类选4种颜料，有 种；三类选3颜料，有 种。共有

+ + = 420（种）。

二、运用旋转回位的概念，显现重复。

例三、用6种颜色给圆周上的6个等分点染色，各点颜色各不相同，不同的排列顺序有多少种？

分析：要明确两点，① 6个等分点未命名；② 6 个点是可以转动的，每转动60 的倍数，图形仍回位到原图形。

所以不同的染色排列顺序有 = 120 （种）。

一般地， n个不同元素在一圆周上排成一圈，不同的排法有 种。

例四、用5种不同的颜色给正四棱锥的5个顶点染色，要求同条棱上的两个端点不能同色，求不同的染色方法有多少种？ 分析：此题与例二比较，正四棱锥顶点未标有字母，底面是正方形，可以转动。

首先染顶点有 种方法；再染底面4个顶点，分成 4色、3色、2色，依次有 、 、 种方法。

所以不同的染色方法有

三、运用推理，避免重复和遗漏。

（ + + ）= 120（种）。

例五、将10个小球放到三个盒子中，每盒不空。（1）若10个小球都相同，三个盒子不相同，有多少种投放法？（2）若10个小球都相同，三个盒子也都相同，有多少种投放法？（3）若10个小球互不相同，三个盒子都相同，且每个盒子中的小球个数不超过4个，有多少种投放法？

分析：第（1）问用“隔板法”解即可，有 = 36（种）。

第（2）问是最容易出现错误的，有很多教辅上的解法为：由（1）可知，（2）中的每一种投放方法，都对应着（1）中的 种

方法，所以共有 = 6（种）。

其实答案应为8种。因为盒子相同，所以只需将10个小球按个数分成三组即可，有1、1、8 ，1、2、7 ，1、3、6 ，1、4、5 ，2、2、6 ，2、3、5 ，2、4、4 ，3、3、4 。

因此，在解决凝难题目上，要先自己思考，再借助参考答案进行思考，这样有利于解题能力的培养和解题思路的拓宽，提高解题的准确率。

第（3）问，因为每个盒子中的小球个数不超过4个，所以将小球按个数分成三组的方法只有二种，即 2、4、4 和3、3、4。投放方法

共有 = 3675种。

思考：（1）将4人分成两组，每组2人，有多少种分法？ （2）从4人中选派2人外出学习，有多少种派法？

解答后对比一下，看看有什么启发，能否启示我们在解题过程中要注重什么。

在复习中，只要我们对每一类型问题进行归类复习，突出典型问题，抓住题目的意图，就能避免题海战术，提高学习效率。