考研资料 - 高等数学公式总结

一。函数，极限，连续 1． 极限的四则运算规则：

lim f(x)=A, lim g(x)=B(x?x0)

lim [f(x)?g(x)]=lim f(x)?lim g(x)=A?B lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB

lim f(x)/g(x)=lim f(x)/lim g(x)=A/B (B?0)

2. 常用的等价公式

x?0 sinx?x, arcsinx?x, tanx?x, arctanx?x, ln(1+x)?x e^x-1?x, 1-cosx?(1/2)x^2, (1+x)^(1/n)-1?x/n 3.求极限的两个重要公式。

（1）lim sinx/x(x?0)=1 (2)lim (1+x)^(1/x)[x?0]=e 4．几个常用的极限 (n??)lim

na(a?0)=1 (x???) lim arctanx=??/2

(x?0?)lim x^x=1 (x???)lim arccotx=0或? （n??）lim (a^n)?(n^n)?0 (n??)lim n!/(lnn)=? 二．导数与微分（见精华区《常见公式一》） 补充高阶导数的公式。

(1)(a^x)(n)?a^x(lna)^n(a?0)(2)sin(kx)(n)?k^nsin(kx?n*?/2)(3)cos(kx)(n)?k^ncos(kx?n*?/2) (4)(x^m)(n)?m(m?1)....(m?n?1)x^(m?n)

(5)(lnx)(n)?(?1)^(n?1)[(n?1)!/(x^n)]n(6)莱布尼兹公式：(uv)(n)??c(i,n)u(i)v(n?i)i?0 2．曲线y?f(x)在点(x,y)处的曲率k?|y''|/(1?y'^2)^(3/2) 曲率半径??1/k

三．不定积分（见精华区《常见公式二》）

四．定积分及广义积分 1．定积分的性质与定理

bbb

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx

aaabb

?kf(x)dx?k?f(x)dx(k为常数)

aabcb

?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

aac bb 定积分比较定理 f(x)?g(x),x?[a,b],则f(x)dx?g(x)dx

aa??m?f(x)?M,x?[a,b]其中m,M为常数，则 估值定理

bm(b?a)??f(x)dx?M(b?a)a

积分中值定理：

b若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少?一个点?，使?f(x)dx?f(?)(b?a)

a?/2?/22．

?sin^n(x)dx???(n?1)*(n?3)....2*1/n*(n?2)*...3*1(当n为奇数)00cos^nxdx?(n?1)*(n?3)....1*?/n*(n?2)....2*2(当n为偶数)

五．中值定理。 1。洛尔定理

设函数f(x)满足在[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，且f(a)?f(b)，则在(a,b)内至少存在一点?，使f'(?)?02。拉格浪日定理

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，则在(a,b)内至少存在一个?使

f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)3．柯西中值定理

f(x),g(x)满足在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g(x)?0,则在(a,b)内至少存在一个?，使[f(b)?f(a)]/[g(b)?g(a)]?f'(?)/g'(?)

4． 台劳公式

f(x)?f(0)?f'(0)x?1/2!f''(0)x^2?....?1/n!f^(n)(0)x^n?Rn(x) 5.五种常见函数的台劳展开

(1)e^x?1?x?1/2!x^2?.....?1/n!x^n?1/(n?1)!x^(n?1)e^? （2）sinx?x?1/3!x^3?...?1/n!(x^n)sin(n?/2)?o(x^n) （3）cosx?1?1/2!x^2?....?1/n!(x^n)cos(n?/2)?o(x^n)

1?x)?x?1/2*x^2?1/3*x^3?....?(?1)^(n?1)1/n(x^n)?o(x^n) (4) ln( (5) (1?x)^m?1?mx?m*(m?1)/2!(x^2)?...?m(m?1)...(m?n?1)/n!(x^n)?o(x^n) 六。无穷级数

1．常用的函数展开式。

（1）1/(1?u)?1?u?u^2?u^3?....?u^n

(2) 1/(1?u)?1?u?u^2?u^3?....?(?1)^n(u^n),(?1,1)

2.傅立叶级数

函数展开为三角级数为

f(x)?1/2*a0??[(an)*cosnx?(bn)*sinnx]n?1?

其中an?1/??f(x)cosnxdx(n?0,1,2...)???bn?1/??f(x)sinnxdx(n?0,1,2...)f((x)是以2?为周期的函数)????

当f(x)是以2l为周期的函数时，则f(x)?1/2*a0??[(an)*cos(n?x/l)?(bn)*sinn?x/l]n?1

其中an?1/l?f(x)cos(n?x/l)dx(n?0,1,2...)?llbn?1/l?f(x)sin(n?x/l)dx(n?0,1,2...)?ll

九．矢量代数与空间解析几何 1

???单位矢量a0?a/|a|?{x/x^2?y^2?z^2,y/x^2?y^2?z^2,z/x^2?y^2?z^2}??空间两点的距离M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则M1M2?．

(x2?x1)^2?(y2?y1)^2?(z2?z1)^2

2．平面A1x?B1y?C1z?D1?0与平面A2x?B2y?C2z?D2?0夹角 co?s?(A1A2?B1B2?C1C2)/A1^2?B1^2?C1^2*A2^2?B2^2?C2^2

直线L1(x?x1)/l1?(y?y1)/m1?(z?z1)/n1与直线L2(x?x2)/l2?(y?y2)/m23.

?(z?z2)/n2,直线L1,L2的夹角?,由下式确定：cos??(l1l2?m1m2?n1n2)/l1^2?m1^2?n1^2*l2^2?m2^2?n2^2 4。

点M(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离为d?|Ax0?By0?Cz0?D|/A^2?B^2?C^2