人教A版数学必修二3.1.1《直线的倾斜角与斜率》

3．1．1 直线的倾斜角与斜率

一、知识导学：1、了解直线的倾斜角的概念，理解直线的斜率的概念．

2、掌握过两点的直线的斜率公式，并牢记斜率公式的形式特点及适用范围。 二、温故知新：

1、两点A（x1,y1），B（x2,y2）的中点坐标为________________，

线段AB=___________________________。 2、一般地，一次函数y?kx?b的图象是一条直线，它是以满足y?kx?b的每一对x、

y的值为坐标的点构成的，由于函数式y?kx?b也可以看作二元一次方程，所以我们也可

以说，这个方程的解和直线上的点存在着一一对应的关系．

3、在平面直角坐标系中，过点P的一条直线绕点P旋转，它对x轴的相对位置有多少种情况？画图表示。 三、基础知识：

1、倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴______与 直线l向______方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角。 当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为_________. 直线l的倾斜角a的取值范围是 _____________________。 注意：（1）作用：倾斜角表示了平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

（2）确定一条直线位置的几何要素是：

一是直线上的一个_____，另一个是它的_______。二者缺一不可。 2、斜率：一条直线的倾斜角a（a?90?）的_________叫做这条直线的斜率。 注意：（1）直线的斜率常用k表示．即 k?tana。 （2）倾斜角是90o的直线没有斜率。

（3）直线的斜率k的取值范围是_______________________________. （4）作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度。 3、直线的倾斜角和斜率的关系：

联系：都是表示平面直角坐标系内的直线的倾斜程度。 区别：（1）倾斜角是用角的大小来表示直线的倾斜程度，而斜率是用实数来表示直线的倾斜程度；（2）任何直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线没有斜率。（3）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述和表现了直线对x轴正方向的倾斜程度，而斜率是一个代数概念，它从代数角度刻画了直线对x轴正方向的倾斜程度。 设直线l的倾斜角为a，斜率为k，则有：

yk?0?0??a?90?； k?0?a?0?；

k?0?90??a?180?； k不存在?a?90?。 4、经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)（x1≠x2）的直线的斜率公式：

y?y1 k?2。注意： Ox2?x1（1）如果y2?y1，x2?x1，则直线与x轴平行与重合，这时：k?0。

（2）如果y2?y1，x2?x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90o，k不存在。 （3）在应用上述公式求直线斜率时，与P1，P2两点的坐标顺序无关。 四、例题解析： 例1、已知A（3，2），B（－4，1），C（0，－1），求直线AB，

BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

?2x?

例2、如图，直线l1的倾斜角?1?30?，直线l2?l1、求l1、l2的斜率．

例3、若三点A（－2，3），B（3，－2），C（

y?1Bl2l1?2Ox1，m）共线，求m的值． 2

例4、已知两点A（－1，－5），B（3，－2），直线l的倾斜角是

直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率．

例5、已知直线l过点P（－1，2）且与以A（－2，－3），B（3，0）为端点的

线段相交，求直线l的斜率的取值范围。

五、达标训练：

1、已知直线l的倾斜角为α，且0°?a?135°， 则直线l的斜率的取值范围是（ ）

A．[0,??) B．(??,??) C．[?1,??) D．(??,?1]?[0,??) 2、直线l经过原点和点（－1，－1），则它的倾斜角是（ ）

A．

?5??5?? B． C．或 D．－

444443、过点P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）

A．1 B．4 C．1或3 D．1或4

1，则直线的斜率为（ ） 5434334 A．或 B．?或? C．? D．?

3434435、若m?0，斜率为m的直线上有两个点P(m,3)，Q(1,m)，

4、若直线的倾斜角为?，且sin??cos??则此直线的倾斜角为（ ）

l2l3Oyl1x

A．30o B．45o C．60o D．120o

6、如图，直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则（ ）

A．k3?k2?k1 B．k2?k3?k1 C．k1?k2?k3 D．k2?k1?k3 7、已知直线l的倾斜角为

2?，则直线l的斜率是 ． 38、已知直线l的倾斜角为75°，则直线l的斜率是 ． 9、已知点P（3，2），点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150o， 则Q点的坐标为______________________。

10、直线l的斜率为k，倾斜角是?，若－1＜k＜1，则?的取值范围是 ． 11、过点A（?3，2）、B（2，－3）的直线的斜率为 ．

12、已知两点P(log26,log8729)，Q(log412,log4243)，则直线PQ的倾斜角为____。 13、已知M（a，b）、N（a，c）（b≠c），则直线MN的倾斜角是 ． 14、已知M（b，a）、N（c，a）（b≠c），则直线MN的倾斜角是 ． 15、斜率为2的直线经过三点A（3，5），B（a，7），C（?1，b），

则a=_____________，b=_______________。 16、若点A（a，2），B（5，1），C（?4，2a）在同一条直线上，则a=_____。

2

17、平面上有相异的两点A（cosθ，sinθ）和B（0，1），

求经过A、B两点的直线的斜率及倾斜角的范围．

18、已知三角形的顶点A（0，5），B（1，－2），C（－6，ｍ），

BC中点为D，当直线AD的斜率为1时，求ｍ的值及AD的长。

19、将直线y?3x绕原点逆时针旋转90o，再向右平移1个单位得到直线l， 求直线l的方程。

20、已知A（0，2），B（4，0），C（－2，1），若直线CD与直线AB相交，

且交点在第一象限，求直线CD的斜率k的取值范围．

21、过点P（－1，2）的直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点，

若P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率和倾斜角．