第三章作业答案

3.4 解：

双线性变换法：

21?z?11?z?1?由于T=2，则：s?

T1?z?11?z?1H(z)?Ha(s)|11|??121?z1?zs?s?1?z?121?z?1s?s?1?1?11?z1?z()??11?z?11?z?1(1?z?1)2? ?12?1?1?12(1?z)?(1?z)(1?z)?(1?z)?1?1?2z?1?z?2?3?z?2脉冲响应不变法：

Ha(s)?1s2?s?1?j33j?331313s?(??j)s?(??j)2222

33?jj33H(z)??13131?e?(??j)T22?z?1?1?ej?(?j)T22z?1?j1?e33z333)?1(?1?j3)?11?e?(1?jz

3.7 解：

数字滤波器的截止频率为：

2?fc2??103wc?2?fcT???1

fs6.28318?103根据脉冲响应不变法，模拟滤波器的截止频率?c?2?fc?wc/T?三阶巴特沃斯滤波器的归一化系统函数为：Ha(s)?进行反归一化，令s?s/?c，则

11 T1 231?2s?2s?s?c31Ha(s)??3231?2s/?c?2(s/?c)?(s/?c)?c?2s?c2?2s2?c?s3?c?(?c/3)ej?/6?(?c/3)e?j?/6???s??c1313s??c(?j)s??c(?j)2222故三阶巴特沃斯数字滤波器系统函数为：

wc/T(wc/3T)ej?/6(wc/3T)e?j?/6 H(z)????wc?113131?ezwc(??j)?wc(?j)1?e22z?11?e22z?1将wc?1代入

11H(z)?(?T1?e?1z?1乘T修正，得：

ej?/6/31?e13(??j)?122?e?j?/6/31?e13?(?j)?122)

zz1?1?0.665z?1H(z)??

1?0.368z?11?0.786z?1?0.368z?2

3.8 解：

数字滤波器的截止频率为：wc?2?fcT?2?fc2??4002? ??fs12003w222?23tanc?tan? T2T2?3T根据双线性变换法，模拟滤波器的截止频率为：?c?三阶巴特沃斯滤波器的归一化系统函数为：Ha(s)?进行反归一化，令s?s/?c，则Ha(s)?11

1?2s?2s2?s31

1?2s/?c?2(s/?c)2?(s/?c)31

将?c?23代入上式，得Ha(s)?T1?2(s/23232233)?2(s/)?(s/)TTT因此，三阶巴特沃斯数字低通滤波器系统函数为：

H(z)?Ha(s)33?1?1?121?zs?1?z1?z1?z2?1T1?z33?6()?23()?()3 ?1?1?11?z1?z1?z0.3318?0.9954z?1?0.9954z?2?0.3318z?3?1?0.9658z?1?0.5826z?2?0.106z?3?1?

3.9 解：

数字滤波器的截止频率为：wc?2?fcT?2?fc2??1500??? fs60002wTT?Tcotc?cot? 2224211三阶巴特沃斯滤波器的归一化系统函数为：Ha(s)?

1?2s?2s2?s3根据双线性变换法，模拟滤波器的截止频率为：?c?进行反归一化，令s?s/?c，则Ha(s)?将?c?1

1?2s/?c?2(s/?c)2?(s/?c)3T代入上式，得Ha(s)?21TTT1?2(s/)?2(s/)2?(s/)3222

因此，三阶巴特沃斯数字高通滤波器系统函数为：

H(z)?Ha(s)1?1?1?1T1?zs?1?z1?z1?z2?121?z1?2()?2()?()3 ?1?1?11?z1?z1?z0.1667?0.5z?1?0.5z?2?0.1667z?3?1?0.3333z?2?1?