中考数学压轴题函数梯形问题精选解析（二）

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2013中考数学压轴题函数梯形问题精选解析(二)

例3

如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y ＝

12点C的坐标为(–4，x?1，

40)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上．

(1) 写出点M的坐标；

(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； ② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．

图1

解析

(1)因为AB＝OC＝ 4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2．将x＝2代入y＝

12． x?1，得y＝2．所以点M的坐标为（0，2）

412 x?1，HP＝x– t ．

4HQOM1因为CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即??．所

HPOC212112以x?1?(x?t)．整理，得t??x?x?2． 42212如图3，当P与C重合时，t??4，解方程?4??x?x?2，得x?1?5．

2(2) ① 如图2，过点Q作QH ? x轴，设垂足为H，则HQ＝y?如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝? 2． 因此自变量x的取值范围是x?1?5，且x?? 2的所有实数．

图2 图3 图4

②因为sin∠QPH＝sin∠MCO，所以

HQOMPQHQ??，即． PQCMCMOMPQHQ111??时，HQ?OM?1．解方程x2?1?1，得x?0（如图5）．此CMOM224时t??2．

当

1

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当

PQHQ1??2时，HQ?2OM?4．解方程x2?1?4，得x??23． CMOM4如图6，当x?23时，t??8?23；如图6，当x??23时，t??8?23．

图5 图6 图7

考点伸展

本题情境下，以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢？

?12??1??1?设点Q的坐标为?x,x?1?，那么QM2?x2??x2?1???x2?1?．

?4??4??4?而点Q到x轴的距离为

2212x?1． 4因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离，圆Q与x轴相切．

例 4

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐

?2)，直线y??标为(0，(1)求点D的坐标；

2x与边BC相交于点D． 3(2)抛物线y?ax?bx?c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；

(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

图1

解析

(1)因为BC//x轴，点D在BC上，C(0,－2)，所以点D的纵坐标为－2．把y＝－2代入

2y??x，求得x＝3．所以点D的坐标为(3,－2)．

3(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入D (3,

2

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－2)，得a?22228．所求的二次函数解析式为y?x(x?4)?x?x． 3333??228?x?x?． 33?(3) 设点M的坐标为?x,①如图2，当OM//DA时，作MN⊥x轴，DQ⊥x轴，垂足分别为N、Q．由tan∠MON＝tan

228x?x3?2． ∠DAQ，得3x28． x??2，解得x＝7．此时点M的坐标为（7，14）

33228x?x3?2． ②如图3，当AM//OD时，由tan∠MAN＝tan∠DOQ，得34?x32210因为x＝4时点M与A重合，因此?x?，解得x＝－1．此时点M的坐标为(?1,)．

333因为x＝0时点M与O重合，因此

③如图4，当DM//OA时，点M与点D关于抛物线的对称轴对称，此时点M的坐标为（1，

－2）．

图2 图3 图4

考点伸展

第（3）题的①、②用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等． 如果用代数法进行，计算过程比较麻烦．以①为例，先求出直线AD的解析式，再求出直线OM的解析式，最后解由直线OM和抛物线的解析式组成的二元二次方程组．

3