试题库2（解微分方程）

常微分方程试题库

二、计算题（每题6分）

1. 解方程：tanydx?cotxdy?0； 2. 解方程：3. 解方程：4. 解方程：

dy?2y?ex； dx；

dx?3x?e2t； dt5. 解方程：e?ydx?(2y?xe?y)dy?0；

y6. 解方程：dx?(y3?lnx)dy?0；

x7. 解方程：(2xy?3x2y2)dx?(x2?2x3y)dy?0；

8. 解方程：x????5x???8x??4x?0； 9. 解方程：x(7)?2x(5)?x(3)?0； 10. 解方程：x????x???2x?0； 11. 解方程：x??y??0,x??y??1；

dy?ylny； dxdy13. 解方程：?ex?y；

dx14. 解方程：(x2?1)y??2xy2?0；

dy15. 解方程：?y2cosx；

dx16. 解方程：(y2?xy2)dx?(x2?yx2)dy；

dy17. 解方程：?2xy?4x；

dxd?18.解方程：?3??2；

d?2dy19. 解方程：?xe2y?x；

dx20. 解方程：xy??2y?2x4；

12. 解方程：

选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：tanydx?cotxdy?0

解：y?k?,x?k??,k?0,?1,?2,?是原方程的常数解， （2分）

2?当y?k?,x?k??时，原方程可化为：

?2cosysinxdy?dx?0， （2分） sinycosx积分得原方程的通解为：

sinycosx?C. （2分）

2. 解方程：

dy?2y?ex dx?p(x)dxp(x)dxy?e?(C??f(x)e?dx),（2分）

解：由一阶线性方程的通解公式

?2dx2dx?e?(C??exe?dx)?e?2x(C??e3xdx)?Ce?2x（2分） 1x?e（2分）33. 解方程：

解：由一阶线性方程的通解公式

?p(x)dxp(x)dxy?e?(C??f(x)e?dx) （2分）

?tanxdxtanxdxe?(C??secxe?dx) （2分）

?cosx(C??sec2xdx)

?Ccosx?sinx. （2分）

dx4. 解方程：?3x?e2t

dt解：由一阶线性方程的通解公式

?p(t)dtp(t)dtx?e?(C??f(t)e?dt) （2分）

?3dt3dte?(C??e2te?dt) （2分）

?e?3t(C??e5tdt)

1?Ce?3t?e2t. （2分）

55. 解方程：e?ydx?(2y?xe?y)dy?0

解：原方程可化为：

e?ydx?2ydy?xde?y?0， （2分）

即 d(xe?y?y2)?0， （2分） 原方程的通解为：

xe?y?y2?C. （2分）

6. 解方程：dx?(y3?lnx)dy?0 解：原方程可化为：

yd(lnx)?y3dy?lnxdy?0， （2分）

1即 d(ylnx?y4)?0， （2分）

4yx原方程的通解为：

14y?C. （2分） 47. 解方程：(2xy?3x2y2)dx?(x2?2x3y)dy?0

?M?N?2x?6x?解：因为，所以原方程为全微分方程， （2?y?xylnx?分）

由 2xydx?3x2y2dx?x2dy?2x3ydy?0， （1分）

得: d(x2y)?d(x3y2)?0， （2分） 故原方程的通解为：

x2y?x3y2?C. （1分）

8. 解方程：x????5x???8x??4x?0 解：其特征方程为：

?3?5?2?8??4?(??1)(??2)2?0， （1分）

特征根为??2为2重根，??1. （2分） 所以其基本解组为： e2t,te2t,et， （2分） 原方程的通解为： x?C1e2t?C2te2t?C3et. （1分）

9. 解方程：x(7)?2x(5)?x(3)?0 解：其特征方程为：

?7?2?5??3??3(??1)2(??1)2?0， （1分）

特征根为：??0为3重根，??1，为2重根，???1为2重根.（2分）

所以其基本解组为： 1，t,t2et,tet,e?t,te?t， （2分）

原方程的通解为：x?C1?C2t?C3t2?C4et?C5tet?C6e?t?C7te?t. （1分）

10. 解方程：x????x???2x?0 解：其特征方程为：

?3??2?2?(??1)(?2?2??2)?0， （1分）

特征根为：?1?1，?2，3??1?i. （2分）

所以其实基本解组为： et,e?tcost,e?tsint， （2分） 原方程的通解为： y?C1et?C2e?tcost?C3e?tsint. （1分）

11. 解方程：x??y??0,x??y??1；

解：原方程可化为：

x??1,21y???， （2分）

2积分得通解为：

tt?c1,y???c2. （4分） x?22 12. 解方程：dydx?ylny

解：原方程可化为：

1ylnydy?dx?0， 积分得原方程的通解为：

xlnlny?C. 13. 解方程：dydx?ex?y

解：原方程可化为：

eydy?exdx， 积分得原方程的通解为：

y?x?c. 14. 解方程：(x2?1)y??2xy2?0

解：y?0是原方程的常数解， 当y?0时，原方程可化为：

1y2dy?2xx2?1dx?0， 积分得原方程的通解为：

y?1?lnx2?1?c. 15. 解方程：

dydx?y2cosx 解：y?0是原方程的常数解， 当y?0时，原方程可化为：

1y2dy?cosxdx， 积分得原方程的通解为：

y?1?c?sinx. 16. 解方程：(y2?xy2)dx?(x2?yx2)dy解：y?0，x?0是原方程的常数解，当x?0,y?0时，原方程可化为：

(1y2?1y)dy?(11x2?x)dx， （3分） 3分） （3分）

3分）

（1分） （2分） （3分）

（1分） （2分） 3分）

（1分）（2分） （（（

积分得原方程的通解为：

lny?y?1?lnx?x?1?c. （3分） dy17. 解方程：?2xy?4x

dx解：分析可知y?2是其特解. （2分）

dy对应齐方程的?2xy?0通解为：

dx2y?ce?x， （2分）

故原方程的通解为：

y?ce?x2?2. 18.解方程：d?d??3??2

解：分析可知??23是其特解. 对应齐方程d?d??3??0的通解为：

??ce?3?， 故原方程的通解为：

??ce?3??23. 19. 解方程：

dydx?xe2y?x2 解：原方程可化为：

e?2ydy?xex2dx， 积分得原方程的通解为：

e?2y?ex2?c. 20. 解方程：xy??2y?2x4

解：分析可知y?x4是其特解. 又对应齐方程xy??2y?0的通解为：

y?cx2， 故原方程的通解为：

y?cx2?x4.

（2分） （2分）（2分）

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（3分）

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（2分） 2分）

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