选修4-1 几何证明选讲 第二节 直线与圆的位置关系（学生学案）

第二节 直线与圆的位置关系

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1．会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理．

2．会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理． 1．圆周角

(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 ． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角 ． ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 ．

(3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是 ． ②90°的圆周角所对的弦是 ． 2．圆的切线

(1)判定定理：经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线 经过切点的半径．

(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长 ，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 3．弦切角定理及其推论

(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的 ． (2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的 ． 4．圆中的比例线段

(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积 ．

(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 ．

(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 . 考点一 圆周角及弦切角的性质 [例1] (1)(2014·湖北高考节选)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，求PB的长．

(2)(2014·重庆高考节选)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC分别交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的长．

方法规律

圆周角、弦切角定理的作用

圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段长或角的大小及与圆的切线有关的问题．

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如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．求证：

(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD.

证明：

考点二 圆内接四边形的判定及性质 [例2] (2015·临汾模拟)如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．

(1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．

方法规律

证明四点共圆的常用方法

(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．

当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．

已知D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC

的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．

(1)证明：C，B，D，E四点共圆；

(2)若∠BAC＝90°，且m＝4，n＝6，求点C，B，D，E所在圆的半径． 解：

考点三 与圆有关的比例线段问题 [例3] (2014·湖南高考节选)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦， AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，求⊙O的半径．

方法规律

与圆有关的比例线段问题的常见类型及解题策略 (1)证明比例线段(或线段乘积)．利用相交弦定理或切割线定理证明．

(2)求线段的长度．可依题已知条件、相交弦定理或切割线定理找到比例线段，进而求线段长度．

(3)证明三角形相似．可依题设及相交弦定理、切割线定理找到三角形相似的条件即可证明．

(2013·天津模拟)如图，PA是圆O的切线，

切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，求圆O的半径R.

—————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————

2个结论——直线与圆位置关系的两个相关结论

(1)切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心； (2)相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长．

2种思路——解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；

(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换．

1.(2013·江苏高考)如图所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.

2.(2014·辽宁高考)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

(1)求证：AB为圆的直径； (2)若AC＝BD，求证：AB＝ED. 证明：

3.(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．

(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；

(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值． 解：

4．(2014·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．

证明：∠OCB＝∠D. 证明：

5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；

(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径． 解：