无穷限反常积分敛散性及审敛法则（教案）(2)

这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法． 定理11.3 (狄利克雷判别法 若当

时单调趋于，则无穷积分

收敛，在[

上有界，收敛． 在[

上单调有界，则无

在[

上

定理11.4 (阿贝尔(Abel判别法 若穷积分

收敛．

用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．

例5 讨论与的收敛性．

解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论：

(i当>1时绝对收敛．这是因为

收敛.

而当>1

时收敛，故由比较法则推知

(ii当时条件收敛．这是因为对任意≥1，有，而

当时单调趋于

，故由狄利克雷判别

法推知工当时总是收敛的．

另一方面，由于，其中

时该无穷积分

是收敛的，而是发散的，因此当

不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的．

证：前两个无穷积分经换元得到

由例5知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元而得

可以看到，当能收敛．

，它也是条件收敛的．从例6中三个无穷积分的收敛性时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可

八、学习评价

本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。

作业内容：教材 :1（4，6，9）；2；3.